Dada una curva de velocidad unitaria en una esfera, demuestre que la curva tiene curvatura constante

Question

Sea $r(t)$ sea una curva de velocidad unitaria en una esfera $x^2+y^2+z^2=R^2$ . Demuestre que la curva $c(t)=\int^t_0 r(u) du$ tiene una curvatura constante $\frac{1}{R^2}$

Todavía estoy un poco tembloroso con estas cosas, así que no sé si lo estoy haciendo de la manera correcta.

La curvatura viene dada $k=\frac{|c''(t)\times c'(t)|}{|c'(t)|^3}$ . Así que..,

$c'=r(t)-r(0)$

$c''=r'(t)$

$\implies \frac{|r'(t) \times (r(t)-r(0))|}{|r(t)|^3}$

¿Lo estoy haciendo bien? No sé qué más hacer. Supuse que no podía dejar $r(t)=(R\cos^2(t),R\cos(t)\sin(t),R\sin(t))$ ya que no sabemos más sobre la curva dada. Cualquier ayuda para llegar más lejos sería muy apreciada.

Edito: Estoy utilizando la fórmula local de la curvatura y no la de la velocidad unitaria, ya que no sé si podemos hacer alguna suposición sobre $c$ basado en $r$ con velocidad unitaria.

Answer 1

Yo lo haría así:

Tenemos

$c(t) = \int_0^t r(u)du, \tag{1}$

de donde

$\dot c = \dfrac{dc}{dt} = r(t), \tag{2}$

y puesto que $r(t)$ se encuentra en la esfera de radio $R$ tenemos

$\Vert r(t) \Vert = R \tag{3}$

para todos $t$ . Esto demuestra que el vector tangente $\dot c$ tiene una magnitud constante $R$ :

$\Vert \dot c(t) \Vert = \Vert r(t) \Vert = R, \tag{4}$

para todos $t$ . Pero $\Vert \dot c \Vert$ es la tasa de variación de la longitud de arco $s$ a lo largo de $c(t)$ con respecto al parámetro $t$ :

$\dfrac{ds}{dt} = \Vert \dot c(t) \Vert = R, \tag{5}$

y (5) implica

$\dfrac{dt}{ds} = \dfrac{1}{R} \tag{6}$

a lo largo de $c(t)$ también. Por (2) y (3) vemos que el campo tangente unitario $\mathbf t$ a $c(t)$ es

$\mathbf t = \dfrac{\dot c}{R} = \dfrac{r(t)}{R}; \tag{7}$

la curvatura $\kappa$ de $c(t)$ viene dada por la ecuación de Frenet-Serret

$\dfrac{d\mathbf t}{ds} = \kappa \mathbf n, \tag{8}$

donde $\Vert \mathbf n \Vert = 1$ . A partir de (6)-(8), utilizando la regla de la cadena para las derivadas,

$\kappa \mathbf n = \dfrac{d\mathbf t}{ds} = \dfrac{dt}{ds} \dfrac{d\mathbf t}{dt} = \dfrac{1}{R}\dfrac{\dot r}{R} = \dfrac{\dot r}{R^2}. \tag{9}$

Depuis $r(t)$ es una curva de velocidad unitaria, $\Vert \dot r \Vert = 1$ por lo que tomando la norma de cada lado de (9) se obtiene

$\kappa = \dfrac{1}{R^2}, \tag{10}$

es decir, la curvatura de $c(t)$ es $R^{-2}$ . ¡¡¡QED!!!

Espero que le sirva de ayuda. Hasta luego,

y como siempre,

¡¡¡Fiat Lux!!!

Answer 2

Algunas pistas :

Si una curva tiene velocidad unitaria, su curvatura es simplemente $\tfrac{dT}{ds}$ donde $T$ es la tangente unitaria. La fórmula más compleja que has utilizado se aplica a cualquier curva (de velocidad unitaria o no). Tienes que utilizar la fórmula más compleja para $c$ como sospechabas, pero no con $r$ . Las cosas son más sencillas con curvas que tienen velocidad unitaria.

La velocidad unitaria significa que $\|T\| = 1$ .

En algún momento, debe utilizar el hecho crucial de que $\|r(t)\| = R$ ya que $r$ se encuentra en una esfera de radio $R$ . Es decir $r \cdot r = R^2$ . Diferenciar esto te dará algo útil.