Tetraedros con ángulos de cara prescritos

Question

Busco un análogo para el siguiente hecho bidimensional:

Dados 3 ángulos $\alpha,\beta,\gamma\in (0;\pi)$ siempre hay un triángulo con estos ángulos prescritos. Es esférico/euclídeo/hiperbólico, si la suma de los ángulos es menor que/igual a/mayor que $\pi$ . Y la longitud de los lados (resp. su razón en el caso euclidiano) puede calcularse con la ley del seno y del coseno.

El problema análogo en 3 dimensiones sería:

Asignar a cada arista de un tetraedro un número en $(0;\pi)$ . ¿Existe un tetraedro con estos números como ángulos de cara en esas aristas. Y cuando es esférico/euclídeo/hiperbólico. ¿Existe un invariante similar a la suma de ángulos? ¿Existen fórmulas para calcular la longitud de las aristas?

Answer 1

La respuesta corta es no: no existe un único criterio de desigualdad. Ya en $\mathbb{R}^3$ todo es mucho más complicado. Permítanme dar una muestra de las desigualdades que deben satisfacer los ángulos. Denotemos por $\gamma_{ij}, 1\leq i < j \leq 4$ los seis ángulos diedros de un tetraedro euclidiano. Entonces: $$ \gamma_{12}+\gamma_{23} + \gamma_{34}+\gamma_{14} \le 2 \pi $$ $$ 2\pi \le \gamma_{12} + \gamma_{13} + \gamma_{14}+\gamma_{23} + \gamma_{24}+\gamma_{34} \le 3\pi $$ $$ 0 \le \cos \gamma_{12} + \cos\gamma_{13} + \cos\gamma_{14}+ \cos\gamma_{23} + \cos\gamma_{24}+ \cos\gamma_{34} \le 2 $$ (Véase mi Libro ex. 42.27 para las pruebas de estas desigualdades - no son terriblemente difíciles, así que puedes disfrutar probándolas tú mismo).

Esto demuestra que el conjunto de séxtuples de ángulos permitidos es bastante complicado (para tetraedros esféricos/hiperbólicos con ángulos cercanos a $\gamma_{ij}$ estos ángulos también tendrán que satisfacer estas desigualdades). El "invariante" que mencionas corresponde a la única ecuación que satisfacen los ángulos en el espacio euclídeo. Esta última también es bastante delicada: es la ecuación de Gauss-Bonnet $\omega_1+...+\omega_4=4\pi$ donde $\omega_i$ es la curvatura de $i$ -ésimo vértice - es necesario utilizar el teorema del coseno esférico para calcularlo a partir de los ángulos diedros (véase, por ejemplo, la proposición 41.3 de mi libro).

Por último, le recomendamos que eche un vistazo a este interesante artículo de Rivin, para ver que una generalización similar de la desigualdad del triángulo es igual de difícil. Para responder a tu última pregunta (longitudes de arista a partir de ángulos diedros), sí, se sabe. No soy un experto en esto, pero yo empezaría con este documento reciente.

Answer 2

La pregunta parece un poco confusa, en particular porque el OP pregunta sobre ángulos diedros pero los llama ángulos de la cara. En cualquier caso, a pesar de lo sombrío de la respuesta aceptada, se sabe mucho. En particular, la matriz gram de ángulos diedros proviene de un tetraedro euclídeo, hiperbólico y esférico si y sólo si la firma es $(0, 3)$ $(1, 3)$ , $(4, 0)$ respectivamente. Además, en el caso euclídeo, el mapa de Gauss cartografía el tetraedro sobre la superficie de la esfera unitaria. Los triángulos de la descomposición celular inducida tienen lados iguales a los ángulos diedros exteriores, y sus áreas pueden calcularse utilizando el teorema esférico de los cosenos. El análogo exacto de la "suma de ángulos es $\pi$ "es que la suma de las áreas de estos triángulos es $4\pi.$ Esto es no una condición suficiente en este caso. También existen condiciones laterales para que la suma de los ángulos de las caras (que pueden calcularse a partir de los ángulos diedros) de cada cara sea $\pi.$
En los casos hiperbólico y esférico, la imagen gaussiana (véase mi tesis, o su redacción como Rivin-Hodgson, Inventiones) debería ser una variedad cónica esférica, cuyos ángulos son menores (esférico) o mayores (hiperbólico) que $2\pi,$ más, en el caso hiperbolci, otra condición sobre la longitud de la geodésica cerrada más corta (debe ser mayor que $2\pi.$

Para la generalización de la condición de la matriz de Gram a poliedros convexos arbitrarios, véase la tesis de Raquel Díaz-Sánchez:

 A characterization of Gram matrices of polytopes
 R Díaz - Discrete & Computational Geometry, 1999 - Springer

Answer 3

No estoy seguro de que el problema tridimensional formulado en la pregunta sea el análogo adecuado del bidimensional para triángulos, esencialmente por la aparición de invariantes de Dehn y demás. Al menos la siguiente modificación de la pregunta puede responderse utilizando los resultados de Dupont y Sah:

Dada una combinación de longitudes de lado y ángulos diedros $\sum l_i\otimes \frac{\theta_i}{2\pi}\in\mathbb{R}\otimes(\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ ¿existe un politopo euclidiano que tenga este elemento como invariante de Dehn?

La respuesta viene dada por una secuencia exacta que puedes encontrar en la Sección 4 de J.L. Dupont y C.-H. Sah: Homology of euclidean groups of motions made discrete and euclidean scissors congruences. Acta Math. 164 (1990), 1--27:

$$ 0\to \mathcal{P}(\mathbb{R}^3)/\mathcal{Z}_2(\mathbb{R}^3)\stackrel{D}{\longrightarrow} \mathbb{R}\otimes(\mathbb{R}/\mathbb{Z}) \stackrel{J}{\longrightarrow} H_1(SO(3),\mathbb{R}^3)\to 0 $$ En esta secuencia, $\mathcal{P}(\mathbb{R}^3)$ son clases de congruencia en tijera de los politopos en $\mathbb{R}^3$ , $\mathcal{Z}_2(\mathbb{R}^3)$ son las clases de congruencia de tijera de los prismas, $D$ es el invariante de Dehn y $J(l\otimes \frac{\theta}{2\pi})= \frac{1}{2}l\frac{d\cos\theta}{\sin\theta}$ utilizando la identificación $H_1(SO(3),\mathbb{R}^3)\cong\Omega^1_{\mathbb{R}}$ con diferenciales absolutos de Kähler.

Por tanto, si te dan los seis ángulos diedros del tetraedro, al menos en principio es posible averiguar si hay seis longitudes laterales que den una invariante de Dehn realizable. Desgraciadamente, el teorema no dice si el invariante de Dehn será realizable por un tetraedro - el teorema generalmente no dice cómo construir el politopo que realiza el invariante de Dehn...

De todos modos, existen secuencias exactas análogas para las clases de congruencia de tijeras hiperbólicas y esféricas. Para las congruencias de tijeras hiperbólicas se obtiene en particular $$ \mathcal{P}(\mathbb{H}^3)\stackrel{D}{\longrightarrow}\mathbb{R}\otimes(\mathbb{R}/\mathbb{Z})\to H_2(SL_2\mathbb{C},\mathbb{Z})^-\to 0 $$ donde $\mathcal{P}(\mathbb{H}^3)$ es el grupo de clases de congruencia de tijera en el espacio hiperbólico 3, y $H_2(SL_2\mathbb{C},\mathbb{Z})^-$ es el $-1$ -de conjugación compleja en $H_2(SL_2\mathbb{C},\mathbb{Z})$ . Para la congruencia de tijera esférica la $+1$ -aparece el espacio eigénico. Esto se puede encontrar en trabajos de Dupont, Sah, o en el libro "Scissors congruences, group homology and characteristic classes" de J.L. Dupont. El mapa $\mathbb{R}\otimes(\mathbb{R}/\mathbb{Z})\to H_2(SL_2\mathbb{C},\mathbb{Z})^-$ puede identificarse con la reducción $S^2\mathbb{C}^\times\to K_2(\mathbb{C})$ de un cuadrado simétrico de las unidades de $\mathbb{C}$ a $K_2$ aunque esto no se considere necesariamente explícito. Al menos, esto te dice que hay una obstrucción precisa para realizar una combinación lineal de longitudes de lado y ángulos diedros como el invariante de Dehn de algún hiperbólico o esférico politopo . Es probable que sea un trabajo adicional significativo para producir condiciones precisas para la realizabilidad por tetraedros.

Answer 4

Existe un artículo de K. Wirth y A. Dreiding que puede resultarle útil:

Longitudes de arista que determinan los tetraedros

Elmente der Mathematik, volumen 64, (2009) 160-170.

El título habla de longitudes de arista, pero el enfoque adoptado consiste en tomar un triángulo dibujado en el plano y colocar tres triángulos a lo largo de sus aristas para formar una "red" con la que intentar doblar el resultado en un tetraedro. En el artículo se discuten las circunstancias en las que esto puede hacerse.

Answer 5

Ha habido trabajo en Matrices Gram que parece pertinente, véase, por ejemplo, el teorema 14-5 en la p. 24-5.

También de interés periférico: hay un generalización hiperbólica de la Invariante de Dehn . Pero hasta donde yo sé, este tipo de cosas no puede ser una generalización de ninguna construcción 2D.