El conjunto $C(\mathbb{R})$ de funciones continuas acotadas en $\mathbb{R}$ es un espacio de Banach cuando está equipado con la norma sup. A mi entender, se deduce simplemente del hecho de que una sucesión de Cauchy de funciones continuas converge uniformemente a una función continua.
¿Qué tal el conjunto, que denotaré $C_{\rm{d}}(\mathbb{R})$ de funciones acotadas, que son continuas excepto en $x=0$ donde se permite una discontinuidad de salto, es decir $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^\pm}f(x)=f^\pm}$ ambos existen. ¿Es un espacio de Banach bajo la norma sup?
Parece que sí, ya que puedo aplicar el argumento de Cauchy a ambos intervalos $(-\infty,0]$ y $[0,\infty)$ y concluir que una sucesión de Cauchy en $C_{\rm{d}}(\mathbb{R})$ limitará uniformemente a una función, que es continua en ambos intervalos individualmente.
¿Tengo razón o estoy completamente equivocado? Si estoy en lo cierto, ¿existe un nombre para dicho espacio?
