¿Están definidas las derivadas en los límites?

Question

Dada una función diferenciable $f : [-5,5] \rightarrow \mathbb{R},$ tenía la impresión de que la derivada $f'$ tiene como dominio $(-5,5).$ Sin embargo, según la Wikipedia

...una función diferenciable es una función cuya derivada existe en cada punto de su dominio.

¡Pero espera! Si $f'$ solo tiene como dominio $(-5,5),$ entonces bajo la definición de 'función diferenciable' de Wikipedia, tenemos que $f$ no es diferenciable.

Pregunta 1. ¿Qué está pasando?

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Pregunta 2. Suponiendo por el momento que $f'$ tiene como dominio $[-5,5],$ ¿es cierto que si $f'(5)>0,$ entonces $5$ corresponde a un máximo local de $f$? Si es así, ¿hay una generalización para funciones diferenciables arbitrarias $f : X \rightarrow \mathbb{R},$ donde $X \subseteq \mathbb{R}^n$?

Answer 1

Este problema se maneja cuidadosamente en Rudin. Aquí está la definición 5.1 en Rudin:

Sea $f$ definida (y de valor real) en $[a,b]$. Para cualquier $x \in [a,b]$ forma el cociente \begin{equation} \phi(t) = \frac{f(t) - f(x)}{t-x} \quad (a < t < b, t \neq x), \end{equation} y define \begin{equation} f'(x) = \lim_{t\to x} \phi(t), \end{equation> siempre que este límite exista de acuerdo con la Definición 4.1.

Si $f'$ está definida en un punto $x$, decimos que $f$ es diferenciable en $x$. Si $f'$ está definida en cada punto de un conjunto $E\subset [a,b]$, decimos que $f$ es diferenciable en $E.

Según esta definición, $f$ puede ser diferenciable en $a$ o en $b.

Para referencia, aquí está la definición 4.1.

Sean $X$ e $Y$ espacios métricos; supongamos $E \subset X$, $f$ mapea $E$ en $Y$, y $p$ es un punto límite de $E$. Escribimos $f(x) \to q$ cuando $x \to p$, o \begin{equation} \lim_{x \to p} f(x) = q \end{equation> si hay un punto $q \in Y$ con la siguiente propiedad: Para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que \begin{equation} d_Y(f(x),q) < \epsilon \end{equation> para todos los puntos $x \in E$ para los cuales \begin{equation} 0 < d_X(x,p) < \delta. \end{equation> Los símbolos $d_X$ y $d_Y$ se refieren a las distancias en $X$ y $Y$, respectivamente.

El punto clave de esta definición, para esta discusión, es que solo se requiere que $p$ sea un punto límite de $E.

Por cierto, si una función $f$ está definida en un subconjunto de $\mathbb R^n$ donde $n > 1$, entonces creo que se vuelve importante insistir en que $f$ no puede ser diferenciable en $x$ a menos que $x$ pertenezca al interior del dominio de $f. De lo contrario, una matriz $f'(x)$ podría existir pero no estar determinada de manera única. La Definición 9.11 en Rudin asume que $f$ está definida en un conjunto abierto.

Answer 2

Recuerde que una definición de la frase "$f:D\to \mathbb{R}$ es diferenciable en $d\in D$" es que el límite $\displaystyle\lim_{x\to d}\frac{f(x)-f(d)}{x-d}$ existe. Tenemos que desempaquetar esto un poco para llegar a tu pregunta.

La definición usual de un límite de una función $g:D\to\mathbb{R}$ es que $\displaystyle\lim_{x\to d}g(x) = L$ si para todos los $\varepsilon$-bolas $B_R$ centradas en $L$ existe una $\delta$-bola $B_D$ centrada en $d$ tal que $g(B_D-\{d\})\subseteq B_R.

Finalmente, recuerda que una $\alpha$-bola centrada en $a$ en $A$ es un conjunto $\{p: d_A(p,a)<\alpha\}$. En nuestro caso, estamos considerando $a=d$ y $A=[-5,5]$, entonces una $\delta$-bola centrada en $d$ es de hecho el conjunto $(5-\delta, 5]$.

Entonces, volviendo a través de las capas, eso significa que la frase "$f:D\to \mathbb{R}$ es diferenciable en $5\in [-5,5]$" significa que hay algún $L$ tal que para cada conjunto $B_R=(L-\frac12\varepsilon,L+\frac12\varepsilon)$ existe un conjunto $B_D=(5-\delta,5]$ tal que para cada $x\in B_D, el número real $\displaystyle\frac{f(x)-f(5)}{x-5}$ está en $B_R$.

No veo razón por la cual tal definición deba encontrar dificultades, diría que una derivada se puede definir en el límite de un espacio métrico. Sin embargo, debemos ser cuidadosos con esto: si tenemos una función definida en $\mathbb{R}$ y restringimos su dominio a un conjunto $A$ con límites, la restricción puede tener una derivada en un punto límite$-$ esto no implica que la función original tenga una derivada allí, por razones de la bidireccionalidad que mencionaron otros respondientes.

En resumen, es posible que para cada $\varepsilon$ exista un conjunto $(5-\delta, 5]$ tal que se cumpla la condición deseada, pero para algunos $\varepsilon$ puede no existir un conjunto $(5-\delta, 5+\delta)$ donde se cumpla la misma condición. Parece que esto implicaría que la función hace algunas tonterías a la derecha de 5, pero usualmente así es como pensamos en el comportamiento de funciones no diferenciables de todos modos, así que espero que no cause demasiada tensión imaginarlo. (Para un ejemplo más 'bien comportado', considera $|x|$ en los dominios $[-1,0]$ versus $[-1,1]$).

En cuanto a la segunda pregunta, no puedo darte una explicación tan detallada con certeza, pero imagino que la respuesta es sí, y el formalismo funciona de forma muy similar a la demostración del teorema de Fermat para puntos estacionarios.

Answer 3

Podemos ampliar la definición de una derivada a una derivada por la izquierda y respectivamente por la derecha por $$f'_{-}(x) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ y $$f'_{+}(x) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Si estos límites están definidos, en los extremos de un intervalo, entonces la función $f$ es diferenciable en un intervalo cerrado.

Answer 4

Hay una gran cantidad de ambigüedades menores que se pasan por alto, por el bien de la exposición y el pensamiento y la comunicación eficientes. p. ej. a menudo usamos la frase "función de una variable real" para referirnos a cosas como $f(x) = 1/x$ que no es en absoluto una función de una variable real. (entre las cosas que realmente podríamos significar por $f$ es una función parcial de una variable real y una función de una variable distinta de cero)

Aunque a menudo es conveniente tratar con tecnicismos y excepciones de manera ad hoc, esta práctica causa problemas cuando se necesita ser preciso y prestar atención a los detalles.

Desafortunadamente, la respuesta correcta a tu pregunta se reduce a algo así como "lee tu libro e intenta averiguar qué convención está adoptando" o incluso mejor "comprende todas las convenciones que podrían ser útiles aquí".

Dado que hablas de una función $f: [-5,5] \to \mathbb{R}$, la convención más natural, creo, sería que tal cosa puede ser diferenciable. No hay números mayores que cinco en $[-5,5]$, por lo que el hecho de que $f$ no esté definida para ningún número mayor que $5$ no es un obstáculo para que sea continua y diferenciable en $5$.

La convención alternativa, creo, solo se aplicaría si en su lugar estuvieras considerando una función (parcial) de una variable real que estuviera definida solo en $[-5,5]$. Entonces a veces sería útil considerar que tal función automáticamente no es ni continua ni diferenciable en $\pm 5$.

Answer 5

La mayoría de los libros de texto definirían una función diferenciable de manera similar a la siguiente:

$f$ se dice que es diferenciable en un conjunto abierto $S$ si $f$ es diferenciable en cada punto de $S$

A continuación se puede definir las derivadas unilaterales para los límites de intervalos cerrados, pero estas no se utilizan para definir una función diferenciable.