Raíces de polinomio $a z \overline{z} + \overline{b}z + b \overline{z}+c$

Question

Estoy trabajando para encontrar las raíces de $a z \overline{z} + \overline{b}z + b \overline{z}+c$ dado $a,c \in \mathbb R$ y $b \in \mathbb C$ con $|b|^2 - ac > 0$ .

En primer lugar, distinguí dos casos: $a=0$ y $a \neq 0$ . Considero que el caso $a = 0$ primero. En este caso, la ecuación se convierte en $ \overline{b}z + b \overline{z}+c = 0$ . Una vez más, distinguí los casos: o bien $c=0$ o no.

Ahora estoy trabajando en el caso $a=c=0$ . La ecuación se convierte en

$$ \overline{b}z + b \overline{z} = 0$$

Esto se cumple si y sólo si $\overline{b}z$ es puramente imaginario. Distinguí 3 casos:

(i) si $b \in \mathbb R$ ( $\neq 0$ ) entonces esto es cierto para todos $z \in i \mathbb R$ .

(ii) si $b \in i \mathbb R$ se cumple para todos los $z \in \mathbb R$ .

(iii) si $b = u + iv$ y escribimos $z = x + iy$ entonces esto es cierto si y sólo si $ux = -vy$ .

Pero aquí es donde me atasco: ¿Cómo describir el conjunto de $z \in \mathbb C$ tal que $(\mathrm{Re}(b))(\mathrm{Re}(z)) = - (\mathrm{Im}(b))(\mathrm{Im}(z))$ ?

Answer 1

Pista: Si descompones $z, b$ en partes reales e imaginarias como $z = x + iy$ y $b = u + iv$ entonces la ecuación se convierte en $$a x^2 + a y^2 + 2 (ux + vy) + c.$$

En el caso especial de que $a = c = 0$ el polinomio se reduce a $\bar{b} z + b \bar{z}$ (o en la notación anterior, $2 (px - qy)$ ), que es $2 \Re (\bar{b} z)$ pero $\Re (\bar{b} z)$ es sólo $b \cdot z$ donde $\cdot$ es el producto punto euclidiano habitual sobre $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ . Así que.., $z$ es una raíz si es ortogonal a $b$ (como vectores en este espacio).

Desde $|b|^2 - 4 ac = |b|^2 > 0$ tenemos $b \neq 0$ por lo que el conjunto de raíces es una recta que pasa por el origen. En particular, puesto que $b \cdot i b = 0$ esta línea está atravesada por $ib$ por lo que el conjunto de raíces puede escribirse como $$\{\lambda i b : \lambda \in \mathbb{R}\}.$$