Propiedades locales de los morfismos de esquemas

Question

En la Proposición II.5.8, Hartshorne demuestra que, dado un morfismo $f \colon X \to Y$ donde X e Y son esquemas y $\mathcal{G}$ una gavilla cuasi coherente de $\mathcal{O}_{Y}$ - módulos, que $f^{*}\mathcal{G}$ es una gavilla cuasi-coherente de $\mathcal{O}_{X}$ -módulos. Del mismo modo, demuestra que dado $f$ cuasicompacta y separada, que el pushforward de una gavilla cuasicoherente es cuasicoherente.

Mi pregunta se refiere a su reducción al caso afín. Entiendo que la propiedad cuasi-coherente es local, ya que se puede comprobar en una cubierta afín por definición, de modo que para demostrar que el pullback de una gavilla cuasi-coherente es cuasi-coherente, se puede suponer que $X$ sea afín. Sin embargo, ¿por qué se permite suponer también $Y$ sea afín como se hace en la demostración, mientras que para demostrar el pushforward, sólo se puede suponer $Y$ afín y no $X$ ?

Answer 1

Si $U\subseteq X$ es un conjunto abierto y $V\subseteq Y$ es cualquier conjunto abierto que contenga $f(U)$ entonces la restricción de $f^*\mathcal{G}$ a $U$ depende únicamente de la restricción de $\mathcal{G}$ a $V$ (más exactamente, $(f^*\mathcal{G})|_U=g^*(\mathcal{G}|_V)$ donde $g:U\to V$ es la restricción del morfismo $f$ a un morfismo $U\to V$ ). Para mostrar $f^*\mathcal{G}$ es cuasicoherente, basta con demostrar que $X$ tiene una cubierta abierta por conjuntos abiertos afines $U\subseteq X$ en el que $(f^*\mathcal{G})|_U$ es cuasicoherente. Para cada afín abierto $V\subseteq Y$ , $f^{-1}(V)\subseteq X$ pueden ser cubiertos por conjuntos abiertos afines, y estos conjuntos tomados sobre todo $V$ cubrirá todo $X$ . Por lo tanto, basta con demostrar $(f^*\mathcal{G})|_U$ es cuasicoherente si $U\subseteq X$ es afín abierto y existe un afín abierto $V\subseteq Y$ tal que $f(U)\subseteq V$ . Pero en ese caso, $(f^*\mathcal{G})|_U=g^*(\mathcal{G}|_V)$ como en el caso anterior, por lo que también puede sustituir $f$ por $g$ y asumir $X=U$ y $Y=V$ son afines.

Para el pushforward, si $V\subseteq Y$ está abierto, $(f_*\mathcal{F})|_V$ depende de la restricción de $\mathcal{F}$ al conjunto $f^{-1}(V)\subseteq X$ para que pueda sustituir $Y$ por $V$ y $X$ por $f^{-1}(V)$ asumir que $Y$ es afín. Para suponer que $X$ es afín, así como en el caso de pullback, se necesitaría tener una cubierta abierta de $Y$ por conjuntos abiertos afines $V$ tal que $f^{-1}(V)$ también es afín. No es necesario que exista tal cubierta abierta (por ejemplo, si $Y$ sólo tiene un punto y $X$ no es afín).

En resumen, la diferencia entre los dos casos es que siempre existe una cubierta de $X$ por subconjuntos abiertos afines $U$ tal que $f(U)$ está contenido en un conjunto abierto afín, pero no es necesario que exista una cubierta de $Y$ por subconjuntos abiertos afines $V$ tal que $f^{-1}(V)$ es afín.