Función con 2 variables $ f(x,y)=(x-y)e^{xy} $

Question

Encuentra el mínimo y el máximo de la siguiente función:

$$ f(x,y)=(x-y)e^{xy} $$

En la plaza:

$$ \left\{\begin{matrix} -1\leq x\leq 1 \\ -1\leq y\leq 1 \end{matrix}\right. $$

He descubierto que $f(x,y)$ no tiene máximos y mínimos. con esto quiero decir que sin mirar el cuadrado, solo la función.

Answer 1

$$\begin{align}&f_x=e^{xy}\left(1+xy-y^2\right)=0\iff y^2-xy=1\\{}\\&f_y=e^{xy}\left(-1+x^2-xy\right)=0\iff x^2-xy=1\end{align}$$

Resumiendo las dos ecuaciones anteriores obtenemos $\;(x-y)(x+y)=0\implies x=\pm y\;$ y tenemos muchos puntos críticos.

Ahora:

$$\begin{align}&f_{xx}=e^{xy}\left(2y+xy^2-y^3\right)\\{}\\&f_{xy}=e^{xy}\left(2x+x^2y-xy^2\right)\\{}\\&f_{yy}=e^{xy}\left(-2x+x^3-x^2y\right)\end{align}$$

Evalúa ahora el hessiano en los puntos críticos y verás que hay muchos puntos máx.-mín. en la plaza. Por último, tendrás que compararlo con los valores de la función en el perímetro del cuadrado.

Descargo de responsabilidad: Compruebe cuidadosamente los cálculos anteriores, que sólo vienen a servirle de guía. Puede haber errores.

Answer 2

Resolver $\nabla f=0$ encontrará rápidamente sólo dos soluciones $(\pm\sqrt2/2,\mp\sqrt2/2)$ que son ambas monturas. Ahora mira el límite, por ejemplo $x=1$ y $-1\leq y\leq1$ . Aquí $f(1,y)=(1-y)e^y$ que tiene un máximo en $y=0$ y mínimos en $y=\pm1$ . Trate el resto de la frontera de forma similar.