Puede añadir peso a algo que incline más lento?

Question

Supongamos que tenemos 2 barras, tanto de un metro de largo. Ponemos los dos en el suelo verticalmente. A la parte superior de uno de ellos se coloca un peso. Luego nos punta tanto de ellos y hacerles caer.

Asumir que no hay resistencia del aire, y que (los extremos inferiores de) los palos no se deslice contra el suelo.

Que uno se cae primero?

¿Estaría en lo correcto en adivinar que el uno con el peso cae más lento debido a tener un centro de gravedad más alto?

EDIT: En caso de que usted se está preguntando dónde esta pregunta vino, yo estaba pensando en si el tener un pasajero en la parte trasera de una motocicleta podría aumentar o disminuir el tiempo que le lleva a volcarse en el caso de equilibrio se pierde (a muy baja velocidad).

Answer 1

Voy a asumir que el extremo inferior de la varilla es fija, por lo que la varilla gira alrededor de ella. Creo que esto es lo que tienes en mente - grito si no lo es. Así que en algún punto durante su caída en la barra se ve así:

La masa de la varilla es de $m$ y la masa de la oif el peso en el extremo es de $M$, y he dibujado en las fuerzas debido a la gravedad.

Para escribir la ecuación de movimiento de la varilla utilizamos el análogo rotacional de la segunda ley de Newton:

$$T = \frac{d^2\theta}{dt^2}$$

donde $T$ es el momento de torsión y $I$ es el momento de inercia, y la reorganización de esto nos da:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} =\frac{T}{I} \etiqueta{1}$$

Si la longitud de la varilla es de $\ell$, entonces el par de torsión es:

$$\begin{align} T &= mg\frac{\ell}{2}\cos\theta + Mg\ell\cos\theta \\ y= (\frac{m}{2} + M)g\ell\cos\theta \end{align}$$

El momento de inercia de la varilla es:

$$I_{varilla} = \frac{m\ell^2}{3}$$

y suponiendo que nuestro peso se puede aproximar como un punto de masa de su momento de inercia es:

$$I_{peso} = M\ell^2$$

y el momento de inercia total es la suma de estos dos:

$$I = \frac{m\ell^2}{3} + M\ell^2$$

Y para obtener la ecuación de movimiento que acaba de sustituir a nuestras expresiones para $T$ y $I$ en la ecuación (1) para obtener:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{(\frac{m}{2} + M)g\ell\cos\theta}{\frac{m\ell^2}{3} + M\ell^2}$$

Hay un signo menos porque como he dibujado el diagrama del ángulo $\theta$ disminuye con el tiempo, por lo que la aceleración angular es negativa. Con algunos reordenando obtenemos:

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\left(\frac{m + 2M}{m + 3M}\right) \frac{3g\cos\theta}{2\ell} \etiqueta{2}$$

Ahora en realidad la solución de esta ecuación de movimiento sería duro, pero no necesitamos resolver para contestar a su pregunta. El lado izquierdo de la ecuación (2) es la aceleración angular, y si se aumenta la magnitud de la aceleración angular de la varilla cae más rápido, mientras que si se disminuye la varilla cae más lento. Así que tu pregunta se simplifica a:

Si queremos aumentar la masa M de la magnitud de la aceleración angular aumentar o disminuir?

En el lado derecho todo fuera de los corchetes es independiente de los $M$, por lo que sólo tenemos que responder a si el término en corchetes aumenta o disminuye si cambiamos $M$.

Esto es fácil de contestar, porque tenemos un plazo de us $2 millones de dólares en la parte superior de la fracción y por un plazo de$3 MILLONES de dólares en la parte inferior, y, obviamente, $3M \gt 2M$. Así que si aumentamos $M$ la fracción, en los soportes disminuye, y por lo tanto la magnitud de la aceleración angular disminuye.

Así que la respuesta es que al colocar una masa a la parte superior de la varilla de hecho hacerla caer más lentamente.

Answer 2

Supongo que estás imaginando dos palos cuyas bases permanecer pegado todavía a la tierra ya que de la punta. En este caso, lo que debemos hacer para calcular la inclinación de la tasa (yo no diría exactamente "la caída" ... creo que es errónea) es considerar el par de torsión aplicado a cada palo como consejos.

Cuál es la respuesta depende en realidad es la lucha entre el par (la tasa de cambio de la velocidad angular) y el momento de inercia (una medida de la resistencia a la torsión) como la masa se agrega en diferentes lugares en los palos.

El momento de inercia de la $I$ es igual a $m r^2$ para un punto de masa, mientras que el par de escala linealmente con la fuerza que se aplica perpendicular a la dirección radial (básicamente en una dirección de rotación, no empujando hacia el centro de el palo). En este caso, el torque de la fuerza de la gravedad. Además, el torque escala linealmente con la distancia desde el centro de rotación en el que se aplica la fuerza. $$\tau = F \cdot r \cdot \sin \theta$$ ...donde $\theta$ es el ángulo entre la dirección en la que se aplica la fuerza, y la dirección hacia el exterior desde el centro de la rotación a ese mismo punto.

En este escenario, el par será más grande para el palo con la misa en la final, ya que tanto el centro de masa de la barra y su masa total será mayor. Sin embargo, el momento de inercia (que se resiste a la par) también será más grande. De hecho, debido en parte a de $I$ la escala con el $r^2$, en este caso la realidad supera a la del aumento en el par de torsión y los resultados en la lenta caída de la vara con la masa en el extremo. Ahora voy a probar este matemáticamente:

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Voy a asumir que cada palo es un ser infinitamente varilla delgada uniforme de masa por longitud $m$. La masa de cada palo es entonces $m$. Dejar que la masa se adjunta a la parte superior del palo de 2 $M$. Palo 1 no tiene masa adherida.

El par de torsión aplicado a cada palo como una función del ángulo de la vertical es: $$\tau = h\cdot xg \cdot \sin \theta$$ ...donde $h$ es la altura del centro de masa de cada palo cuando se puso de pie, y $x$ es la masa total de la barra. Para los dos palos, esto nos da: $$\tau_1 = 0.5 \cdot mg \cdot \sin \theta_1$$ $$\tau_2 = \frac{M + 0.5 m}{M + m} \cdot (M + m)g \cdot \sin \theta_2$$

Simplfying:

$$\tau_1 = 0.5 m \cdot g \cdot \sin \theta_1$$ $$\tau_2 = (M + 0.5 m)g \cdot \sin \theta_2$$

Con el fin de encontrar la tasa de cambio de ángulo, podemos dividir a la par por el momento de inercia. Sin entrar en detalles de cómo se calcula, sólo voy a dar los momentos de inercia:

$$I_1 = m/3$$ $$I_2 = m/3 + M$$

Entonces se puede calcular la aceleración angular de cada palo como $\tau / I$:

$$\ddot \theta_1 = \frac{0.5 m}{m/3} \cdot g \cdot \sin \theta_1$$ $$\ddot \theta_2 = \frac{(M + 0.5 m)}{m/3 + M} g \cdot \sin \theta_2$$

Simplificando:

$$\ddot \theta_1 = 1.5 \cdot g \cdot \sin \theta_1$$ $$\ddot \theta_2 = \frac{(M + 0.5 m)}{m/3 + M} g \cdot \sin \theta_2$$

El palo que se vuelca más rápido es el uno con el coeficiente de en frente de $\sin \theta$ de mayor magnitud. Así que vamos a ver en la relación de las dos expresiones para el mismo ángulo $\theta_1$ y $\theta_2$. Lo que estamos haciendo es comparar la aceleración angular de cada palo en cualquier ángulo particular $\theta$: $$\frac{\ddot \theta_1}{\ddot \theta_2} = \frac{1.5 \cdot (m/3 + M)}{M + 0.5 m} = \frac{0.5 m + 1,5 M}{0.5 m + M} = 1 + \frac{0.5 M}{M + 0.5 m} > 1$$

Podemos ver entonces que $\ddot \theta_1 > \ddot \theta_2$ y así llegamos a la conclusión de que el primer palo sin la masa $M$ que se adjunta en la final será el que se vuelca más rápidamente.

No he estrictamente demostrado que la barra 1 se golpea el suelo primero, pero debe ser obvio que el hecho de que se acelera más rápido en todos los ángulos durante su vuelco.

Answer 3

Sólo quiero formular John Rennie la respuesta de una manera ligeramente diferente y de manera más general.

Para cualquier objeto de momento angular $I$, la aceleración angular de $\dot \omega$ está dada por

$$\dot\omega = \frac{\Gamma}{I}$$

donde $\Gamma$ es el momento de torsión.

Ahora, en el caso de un objeto con una masa $m_i$ distribuidas a lo largo de la longitud a la distancia $\ell_i$ desde el eje de rotación,

$$I = \sum m_i \ell_i^2$$

y a la par, en un ángulo $\theta$ a la vertical, está dada por

$$\Gamma = \sum m_i \ell_i g \sin\theta$$

Para ambos, la suma más discreto de masas podría ser fácilmente la integral sobre un continuo de la distribución de la masa. No cambia lo que sigue.

Entonces la pregunta es - ¿cuál es la distancia mínima de $d$ en el que tengo que agregar una masa $m$ para que $\dot\omega$ disminuye? Usando mi expresión para el momento de inercia y el par, esto sucede cuando

$$\frac{\sum m_i \ell_i g \sin\theta}{\sum m_i \ell_i^2}\gt \frac{M d g \sin\theta + \sum m_i \ell_i g \sin\theta}{d^2 + \sum m_i \ell_i^2}$$

Reorganización:

$$\left(Md^2 + \sum m_i \ell_1^2\right) \cdot \sum m_i \ell_i\gt \left(Md + \sum m_i \ell_i \right) \cdot \sum m_i \ell_i^2\\ Md^2 \sum m_i \ell_i \gt Md \sum m_i \ell_i^2\\ d \gt \frac{\sum m_i \ell_i^2}{\sum m_i \ell_i}$$

Esto nos dice exactamente donde tenemos que poner una masa para hacer que el objeto caiga más lentamente. Si el objeto inicial es un punto de masa en el extremo de un palo de longitud $\ell$, entonces $d\gt \ell$. Si el objeto inicial es una varilla rígida de longitud $\ell$, entonces el numerador es el momento de inercia de la $I = \frac13 m \ell^2$, y el denominador será de $\frac12 m \ell$, por lo que necesitamos

$$d \gt \frac{\frac13 m \ell^2}{\frac12 m \ell} = \frac23 \ell$$

De ello se desprende que poner una misa en cualquier punto por encima de los $\frac23$ de la forma en que el palo, incluyendo la parte superior, hará caer más lentamente, y la adición de un pasajero de una moto de mayo, a partir de esta simple perspectiva, aumentar la estabilidad.

De haber disputado las motos, te puedo decir que depende mucho de los pasajeros... Mi esposa para que uno no se comporta como un punto ideal de masa (y si me llama ella que me volvería a conseguir un puñetazo).

Answer 4

Sí tienes razón. Hay una resistencia de la gravedad a causa de la aplicación de un peso. Por lo tanto, la aceleración de la viga cae un poco más lento, dependiendo de la masa del objeto. A menos de que nada son la celebración de juntas, ambas vigas iba a caer en la misma proporción, excepto el que se aplica el peso en la parte superior caería más lento. Por ejemplo, Si estamos en un ascensor y el ascensor cae hacia abajo, no se mueva. Pero donde la gravedad. 2ª ley de newton establece que los objetos en movimiento permanecer en movimiento. Es casi como que están ocultos en una habitación sin gravedad. Hasta el ascensor (como el rayo) viene a una parada completa. A continuación, multiplicando nuestra masa con la gravedad de la tierra nos acelerar rápidamente al suelo. (como el que se aplica el peso de la viga) F(n)=mF(g) y F(n)=mr Estos son simples y útiles ecuaciones.