Una curva de pez construida a partir de un círculo

Question

En este diagrama, hay un círculo centrado en $A$ . $GH$ es la mediatriz de $CD$ . Fijación de la posición de $C$ la trayectoria creada por el punto $H$ cuando $D$ se desplaza sobre el círculo se representa en rojo.

¿Cuál es la ecuación de la curva roja? ¿Hay alguna forma elegante de obtener su ecuación o demostrar qué tipo de curva es?

Las coordenadas polares son difíciles de trabajar porque necesitamos expresar la ecuación de la mediatriz. Cuando trabajo en coordenadas certisianas, obtengo una ecuación paramétrica muy compleja, lo cual es molesto. Sólo sé que la $x$ coordenada de $H$ es $$ x_H=p(c-1)+q+r(c-1)^{-1}$$ donde c es el coseno del argumento del vector $OH$

Answer 1

La solución es tediosa, pero manejable. En coordenadas paramétricas, parametrizadas por el ángulo $\theta = \angle DAB$ tenemos $$(x,y) = \left( \frac{2 \cos (\theta )+u^2+1}{2 (u+1)},-\frac{2 \cos (\theta )+ u^2-2u-1}{2 (u+1)} \cot \frac{\theta}{2} \right),$$ donde $u \in (-1,1)$ es el $x$ -coordenada de $C$ . En coordenadas implícitas, $$(u+1) (x-1)^2 (-u+2 x+1)-y^2 \left(u^2-2 (u+1) x+3\right) = 0.$$

El método de solución consiste en situar la figura en el plano de coordenadas, y calcular primero la ecuación de la mediatriz $GH$ . Para ello se calcula el punto medio de $CD$ y tomando la pendiente recíproca negativa de $CD$ como la pendiente de la mediatriz, y utilizando la fórmula punto-pendiente para una recta.

Luego tomamos la ecuación de la recta $BD$ y resolver el sistema lineal de ecuaciones para obtener el punto de intersección $H$ que, una vez simplificado, da como resultado la forma paramétrica del lugar descrito anteriormente. Para obtener la ecuación implícita, hay que eliminar $\theta$ del sistema que describe el lugar paramétrico. Estos cálculos se dejan como ejercicio.