Creación de una puntuación ponderada

Question

Tengo una auditoría en la que hay seis criterios, cada uno de los cuales puede puntuarse como Excelente (E), Satisfactorio (S), Necesita mejorar (N) o Insatisfactorio (U).

Sé que si alguien obtiene una puntuación Excelente en las seis áreas me gustaría que su puntuación fuera 100. También sé que si puntúa 6 Satisfactorio, me gustaría que puntuara 95. Por último, también sé que si puntúan insatisfactorio en todas las áreas, me gustaría que puntuaran 0.

He intentado asignar valores arbitrarios, distribuidos uniformemente, y luego trazar estos puntos { $({0,0})$ , $({2,95})$ , $({3, 100})$ } y creando una recta cuadrática de mejor ajuste, utilizando el método de mínimos cuadrados, pero la ecuación resultante: $f(x)=\frac{455}{6}x - \frac{85}{6}x^2$ alcanza su máximo a $x=91/34$ donde $f(x)=41405/408$ . Como la puntuación máxima es 100 esto no me sirve. Tampoco puedo simplemente añadir una constante, ya que tengo el mismo problema en la intercepción, donde obtendría una puntuación negativa.

¿Lo estoy enfocando mal? ¿Alguna sugerencia sobre cómo puedo crear una ecuación general para esto y qué valores debería asignar a cada criterio?

Answer 1

¿Y si simplemente asignas los siguientes valores?

$$E = {100\over6}, \quad S = {95\over6}, \quad N = {n\over6}, \quad U = 0 $$

y elija $n$ según sus necesidades?

Además, sería útil disponer de más información cualitativa, en particular sobre el valor relativo de $N$ ya que es el único criterio que no has utilizado en una fórmula. Es $N$ muy malo, pero no terrible, del mismo modo que $S$ es muy bueno, pero no excelente? En otras palabras, si alguien puntúa $6 \times$ Necesita mejorar, ¿obtienen una puntuación de $5$ ? ¿Existe una puntuación global de aprobado o suspenso?

Answer 2

Prueba la siguiente función: $$f(x) = \frac{5}{18}\big(11x^3-106x^2+339x\big)$$

Puede comprobar que $f(0) = 0$ , $f(2)=95$ y $f(3)=100$ . Para "Necesita mejorar", la función da $f(1) = 67.778$ . Además, $f$ tiene un máximo local en $x=3$ puedes ver que se nivela muy bien:

Encontré esto configurando $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ y resolviendo para $a,b,c,d$ . Sus tres puntos en $x=0$ , $x=2$ y $x=3$ no son suficientes para determinar estas cuatro constantes, así que basándome en tu descripción del problema añadí una cuarta restricción que $f(x)$ debe alcanzar un máximo en $x=3$ . (Así, utilizando el cálculo, $3ax^2+2bx+c = 0$ cuando $x=3$ .)

Por último, si comparamos esto con la curva logística que sugerí, veremos que son muy similares para $x \in [0,3]$ .

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Edición: más detalles sobre el cálculo

Al buscar una función polinómica sencilla que se ajuste a los datos, podemos considerar que hay cuatro datos:

• $f(0) = 0$ ;
• $f(2) = 95$ ;
• $f(3) = 100$ ;
• Debería haber un máximo en $f(3)$ es decir, la pendiente de la recta tangente allí, $f'(3)$ debe ser igual a $0$ .

Como tenemos cuatro datos, tiene sentido buscar un polinomio de grado $3$ que tiene cuatro grados de libertad. Así, $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ para algunos $a,b,c,d$ . Evaluando esta función en $x=0, 2$ y $3$ tenemos:

$$\begin{align} d &= 0\\ 8a+4b+2c+d&=95\\ 27a+9b+3c+d&=100. \end{align}$$

Para la cuarta ecuación, utilizamos el hecho de que la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$ lo que da $f'(x) = 3ax^2+2bx+c$ . Si se ajusta a $0$ en $x=3$ tenemos:

$$\begin{align} 27a+6b+c&=0. \end{align}$$

Ahora tienes cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas, y puedes usar Excel, o Wolfram Alpha, etc., para resolver el sistema.