Puesto que usted asumió que $X$ es suave (menos sería suficiente, pero necesita al menos $S_2$ ), $G=j_*F_U$ es reflexivo es decir $G^{\ast\ast}=G$ donde $G^{*}=\mathscr Hom_X(G,\mathscr O_X)$ es el dual.
Si dos láminas reflexivas coinciden en un conjunto abierto con codimensión $2$ complemento, entonces están de acuerdo, por lo que tu pregunta equivale a preguntar que $G$ ser localmente libre.
Si el rango de $F$ es $1$ entonces $G$ corresponde a un divisor y de nuevo puesto que $X$ es suave es Cartier y por lo tanto $G$ es localmente libre.
Si el rango de $F$ es como mínimo $2$ entonces el lugar donde una gavilla reflexiva no es localmente libre es al menos $3$ -codimensional (véase el lema 1.1.10 en Vector Bundles on Complex Projective Spaces, por Okonek, Schneider, Spindler ).
Así que lo que quieres se puede hacer en curvas y superficies, pero no necesariamente en variedades de dimensión $\geq 3$ . Una forma alternativa de conseguir $G$ es tomar el doble dual de $F$ Eso es, $G=F^{\ast\ast}$ . En otras palabras, su pregunta es si eso es localmente libre.
Para completar el cuadro, véase el Ejemplo 1.1.13 en ibid . Esto demuestra que las gavillas reflexivas de rango $\geq 2$ no siempre son localmente libres.
Resumiendo:
- Si $k=1$ o $\dim X\leq 2$ entonces la gavilla que buscas es $j_*F_U$
- En caso contrario, si $j_*F_U$ es localmente libre lo tienes, si no lo es, entonces no existe tal gavilla.
