Propiedades básicas de las series de Fourier.9.

Question

Deje f(x) sea la función característica del intervalo [a,b] $\subset$ $[-\pi , \pi ]$ Demuestre que la serie de Fourier de $f$ viene dada por $$ \frac{b-a}{2\pi} + \sum_ {n \neq 0} \frac{e^{-ina} - e^{-inb}}{2\pi i n} e^{inx} $$ Fórmula de la serie de Fourier de la función característica

He calculado $\hat{f}(0)$ y fue $\frac{b-a}{2\pi}$ y he calculado $\hat{f}(n)$ y era igual a $$\hat{f}(n) = \frac{1}{2in\pi} (e^{-ina} - e^{-inb})$$ .

Así que he resuelto la letra (a) de la pregunta que era tan fácil, muchas gracias por cualquier persona que me ayudó. Pero la parte restante de la pregunta es la siguiente:

(b)Demuestre que si $a \ne -\pi$ o $b \ne \pi$ y $a\ne b$ entonces la serie de Fourier no converge absolutamente a para cualquier x.

Hay una pista en el libro para probar esta parte, pero incluso la aplicación de la pista no está clara para mí.

La pista es:[Basta demostrar que para muchos valores de n se tiene $|sin n\theta_0| \ge c > 0$ donde $\theta_0 = \frac{(b-a)}{2}$ ]

¿Alguien podría ayudarme?

Answer 1

En general, la serie de Fourier de una función con período $2 \pi$ viene dada por

$$f(\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos(n \theta)+b_n sin(n \theta))$$

Dónde $$a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) cos n\theta d\theta$$ y $$b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) sin n\theta d\theta$$ .

También se puede expresar la serie de fourier como:

$$f(\theta) = \sum_{-\infty}^{\infty}c_n e^{i n \theta}$$ donde

$$c_n=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) e^{-i n \theta} d \theta$$

¿Puede usted, con esta información y utilizando $f(\theta)$ como la función característica, prueban lo que preguntan?