Estoy trabajando a través de Fulton-Harris y yo soy una especie de "pegado" a la siguiente pregunta. Estoy buscando representaciones de $S_d$, el grupo simétrico de a $d$ letras a través de Pequeños Cuadros. La pregunta es: "Muestran que, en general $d$, el estándar de representación de $V$ $S_d$ corresponde a la partición de $d = (d-1)+1$."
Cuando miro a la pista veo que dan una base: $$v_j = \sum_{g(d)=j} e_g - \sum_{h(1)=j} e_h$$ para $j=2,...,d$. Es allí cualquier manera de la que puedo "ver" que esta debería ser la base correspondiente a la partición? Porque, ahora, que apenas se parecen aparecer de la magia. La representación debe ser la imagen de $c_{(d-1,1)} = a_{(d-1,1)} \cdot b_{(d-1,1)}$ en el grupo de álgebra de $S_d$ (aquí se $a_\lambda$ corresponde a las permutaciones de $S_d$ que conserva las filas de los jóvenes de cuadros y $b_\lambda$ las columnas).
Veo cómo se puede tratar los casos más pequeños simplemente multiplicando cada elemento por $c_\lambda$ ( El joven symmetrizer) , pero incluso para $d=4$, esto se vuelve muy práctico. ¿Hay otras maneras de ver que esta "debe ser" una base? En general, ¿qué podemos decir acerca de un joven diagrama y la correspondiente base para su representación irreducible?
