$G$ es un grafo simple, plano y conexo con $v$ vértices y $e$ bordes. Demostrar si cada cara es isomorfa a $C_k$ entonces $e = \dfrac{k(v-2)}{k-2}$

Question

Sea $G$ sea un grafo simple, plano y conexo con $v$ vértices, y $e$ bordes.

Demostrar que si cada cara es isomorfa a $C_k$ entonces $e = \dfrac{k(v-2)}{k-2}$

$C_k$ es el ciclo de $k$ vértices donde $k\geq3$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Desde cada cara, $f$ es isomorfo a $C_k$ entonces cada cara tiene $k$ vértices y $k$ aristas, y cada vértice tiene un grado de $2$ .

Estoy pensando en utilizar la fórmula de Euler, $v-e+f=2$ pero no pude encajar esta fórmula en mi prueba.

¿Alguna pista sobre cómo debo proceder?

Answer 1

Sea $\mathcal F$ sea el conjunto de caras. Es evidente que $2E=\sum_{f\in \mathcal F} s(f)$ donde $s(f)$ es el número de aristas de la cara $f$ (esto se debe a que cada arista es adyacente a exactamente dos caras y cada cara es adyacente a $|f|$ bordes).

en este caso particular obtenemos que $2E=\sum_{f\in \mathcal F} k= kF\iff F=\frac{2E}{k}$ .

Ahora usa la fórmula de Euler: $V-E+\frac{2E}{k}=2\iff \frac{2-k}{k}E=2-V\iff E=\frac{k(V-2)}{k-2}$