$3^a\mid s(n) \Rightarrow 3^a\mid n$

Question

Esto no es una pregunta de deberes, ni un problema de campeonato (por lo que he buscado en la red), y surgió notando un patrón singular, que involucra las potencias de $3$ : "Demostrar o refutar que $$\forall a \in \Bbb{N},\qquad3^a\mid s(n) \Rightarrow 3^a\mid n$$ donde $s(n)$ es igual a la suma de dígitos de un número entero positivo $n$ escrito en base $10$ ." Esto es obviamente cierto para $a=0,1$ ( $1\mid n\ \forall n \in \Bbb{N}$ y si $a=1$ es simplemente la prueba de la divisibilidad de un número entero por $3$ ), pero parece válido también para $3^2,3^3,3^4,\ldots$ Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

Sólo es cierto para $a \leqslant 2$ . Para $a = 3$ tenemos el contraejemplo $n = 1899$ con $s(n) = 27 = 3^3$ pero $n = 3^2\cdot 211$ . Generalmente,

$$s\left(9\cdot 10^{3^{a-3}} + (10^{3^{a-2}}-1)\right) = 3^a,$$

y $3^a \mid (10^{3^{a-2}}-1)$ pero $3^a \nmid 9\cdot 10^{3^{a-3}}$ para $a > 2$ .

Answer 2

$27$ divide $9+8+7+3$ pero $27$ no divide $9873$ .