No encuentro ningún trabajo sobre la siguiente pregunta: ¿Puede toda superficie de Riemann (cerrada, de tipo finito) $S$ como una superficie lisa incrustada (o incluso inmersa) en el espacio euclidiano. $3$ -donde por realizada quiero decir que la estructura conforme inducida en $T \subset \mathbb{E}^3$ es la estructura conforme en $S?$ La respuesta es obviamente afirmativa cuando $S$ es de género $0,$ pero ahí terminan las afirmaciones obvias no sé la respuesta para $g=1.$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La cuestión de la incrustación fue respondida afirmativamente por Adriano Garsia en 1961. He aquí la enlace a MR. De hecho, ha poco después de mostrarse que la incrustación podría elegirse con imagen algebraica real.
John Topley
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Ya he pensado antes en esta cuestión, pero ahora mismo no recuerdo enlaces o referencias. No obstante, hace muchos años se me ocurrió un esbozo de argumento que eventualmente debería funcionar para demostrar que siempre es posible. A saber, empezar con cualquier incrustación suave de $S$ en $\mathbb{R}^3$ . Esta superficie tiene alguna estructura conforme, y cualquier otra estructura conforme se describe mediante un campo de elipse bien definido hasta una escala. Entonces es intuitivo que se puede conformar el campo de elipse "arrugando" $S$ En otras palabras, haciendo $S$ localmente ondulado en la dirección larga de las elipses. Más rigurosamente, $S$ se sustituye por la gráfica de una función localmente sinusoidal. Ni siquiera es necesario que coincida exactamente; las aproximaciones son suficientemente buenas si se puede rodear la estructura conforme deseada en el espacio de Teichmuller. Hay un truco similar para un propósito diferente en el vídeo "Outside In".
Por supuesto, es engorroso hacer todas las transiciones necesarias entre los parches de arrugas de la superficie. Además, la superficie no es plana, sólo plana en primer orden, y una función no se puede representar gráficamente de forma rectilínea, sino sólo aproximada. Creo que el artículo de Garsia utiliza la misma idea o una idea similar, pero se esfuerza en hacer todas las aproximaciones para que funcione.
