Vuelva a escribir $ \int_{\mathcal{S}}dP_X=1 $ como condiciones de las casillas en $\mathbb{R}^d$

Question

Toma $r\in \mathbb{N}$ y que $d\equiv r+\binom{r}{2}$ .

Consideremos un vector aleatorio d-dimensional $X\equiv (X_1,...,X_d)$ . Sea $P_X$ sea la distribución de probabilidad de $X$ . Supongamos que $$ \int_{\mathcal{S}}dP_X=1 $$ donde $$ \begin{aligned} \mathcal{S}\equiv \{(b_1,b_2,..., b_d)\in \mathbb{R}^{d}: \text{ } & b_{r+1}=b_1-b_2, b_{r+2}=b_1-b_3, ...,b_{2r-1}=b_1-b_r, \\ &b_{2r}=b_2-b_3, ..., b_{3r-3}=b_2-b_r,\\ &...,\\ & b_d=b_{r-1}-b_r\} \end{aligned} $$ Por ejemplo, cuando $r=2$ ( $d=3$ ) tenemos la superficie $$ \begin{aligned} \mathcal{S}\equiv \{(b_1,b_2,b_3)\in \mathbb{R}^{3}: \text{ } & b_3=b_1-b_2\}=\{(b_1,b_2,b_3)\in \mathbb{R}^{3}: \text{ } & b_1=b_2+b_3\} \end{aligned} $$ En $r=3$ ( $d=6$ ) tenemos $$ \begin{aligned} \mathcal{S}\equiv \{(b_1,..., b_6)\in \mathbb{R}^{6}: \text{ } & b_4=b_1-b_2, b_5=b_1-b_3, b_6=b_2-b_3\} \end{aligned} $$

Mi objetivo final: Estoy interesado en reescribir la condición $\int_{\mathcal{S}}dP_X=1$ como una colección de condiciones de medida de probabilidad cero sobre cajas" d-dimensionales en $\mathbb{R}^d$ . La idea es que cualquier casilla de $\mathbb{R}^d$ sin intersección $\mathcal{S}$ debe tener una medida de probabilidad igual a cero. Por lo tanto, si consideramos un número suficiente de estas cajas, deberíamos ser capaces de reescribir equivalentemente $\int_{\mathcal{S}}dP_X=1$ .

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En $r=2$ ( $d=3$ ), mi objetivo se alcanza con la siguiente afirmación

Reclamación: Para dos números reales cualesquiera $(b,c)\in \mathbb{R}^2$ definir las casillas $$B(b,c)\equiv \{(x,y,z)\text{ s.t. } x> b+c, y\leq b, z\leq c\}$$ y $$Q(b,c)\equiv \{(x,y,z)\text{ s.t. } x\leq b+c, y>b, z>c\}$$

Si $P_{X}(B(b,c))=0$ y $P_{X}(Q(b,c))=0$ $\forall(b,c)\in \mathbb{Q}^2$ entonces $\int_{\mathcal{S}}dP_{X}=1$ .

Se aporta la prueba de la reclamación aquí

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Me gustaría contar con su ayuda para generalizar la afirmación (y posiblemente la prueba) a cualquier $r$ . Lo que me parece un reto es definir las casillas pertinentes para cualquier $r>2$ . Realmente no veo cómo generalizar las definiciones de cajas de $r=2$ a cualquier $r$ .

Answer 1

Intento publicar una respuesta. Es sólo un intento, con el objetivo de fomentar los comentarios por su parte. El intento imita para cualquier $r$ la reclamación y las pruebas aportadas aquí para el caso $r=2$ ( $d=3$ ).

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Reclamación

Para cualquier $(\bar{b}, \tilde{b})\in \mathbb{R}^2$ considere la $d$ -cajas dimensionales en $\mathbb{R}^d$ $$ B_{t,p,q}(\bar{b}, \tilde{b})\equiv \{(z_1,...,z_d)\in \mathbb{R}^d \text{: } z_p \leq \bar{b}, \text{ } z_q\leq \tilde{b}, \text{ } z_t>\bar{b}+\tilde{b} \} $$ y $$ Q_{t,p,q}(\bar{b}, \tilde{b})\equiv \{(z_1,...,z_d)\in \mathbb{R}^d \text{: } z_p >\bar{b}, \text{ } z_q> \tilde{b}, \text{ } z_t\leq \bar{b}+\tilde{b} \} $$ $\forall t \in \{1,...,r-1\}$ y $\forall (p,q)\in \{(t+1,r), (t+2, r+1),...,(r, d)\}$ . Sea $\mathbb{Q}$ denotan el conjunto de los números racionales. Si \begin{equation} \label{integral} \begin{aligned} P_{X}(B_{t,p,q}(\bar{b}, \tilde{b}))=& P_{X}(Q_{t,p,q}(\bar{b}, \tilde{b}))=0 \\ & \text{$\forall t \in \{1,...,r-1\}$, $\forall (p,q)\in \{(t+1,r), (t+2, r+1),...,(r, d)\}$} \end{aligned} \end{equation} $\forall (b, \tilde{b})\in \mathbb{Q}^{2}$ entonces $P_{X}(\mathcal{S})=1$ .

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Prueba

Primer paso: Utilizando el hecho de que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ podemos demostrar que

$$ \mathcal{S}^c= \overbrace{\bigcup_{(\bar{b}, \tilde{b})\in \mathbb{Q}^2} \Big\{\bigcup_{\substack{\text{$ t\in{1,...,r_1\} $} \\ \text{$ (p,q)\in \{(t+1,r),...,(r,d)\} $}}}\{B_{t,q,p}(\bar{b}, \tilde{b}) \cup Q_{t,q,p}(\bar{b}, \tilde{b})\}\Big\}}^{\equiv A} $$ donde $\mathcal{S}^c$ denota el complemento de $\mathcal{S}$ .

Segundo paso: Por lo tanto $$ \mathbb{P}(A)=0 \Leftrightarrow \mathbb{P}(\mathcal{S})=1 $$ de la que se desprende la conclusión de la alegación.