Método eficiente para determinar si un conjunto de vectores abarca un campo finito con algunas restricciones en las constantes.

Question

En un campo finito $\{0,1,2\}^2$ dado un conjunto de vectores $[0\:1],[1\:0],[1\:1],[2\:2]$ podemos tener la combinación lineal, $c_1[1\:0]+c_2[0\:1]+c_3[1\:1]+c_4[2\:2] = [s_1\:s_2]\in\{0,1,2\}^2$ donde $c_1,c_2,c_3,c_4\in \{0,1,2\}$ .

La base de este conjunto de vectores es $\{[0\:1],[1\:0]\}$ . La dimensión de esta base es 2, por lo que este conjunto de vectores abarca todo el campo finito $\{0,1,2\}^2$ .

Sin embargo, si el valor que puede tomar cada constante cambia ahora a $c_1\in\{0,1\}, c_2\in\{0,1,2\}, c_3\in\{0,1\},c_4\in\{0,1\}$ ¿existe un método más eficaz para determinar si este conjunto de vectores sigue abarcando el campo finito $\{0,1,2\}^2$ sin comprobar rigurosamente si cada vector del campo finito $\{0,1,2\}^2$ a partir de la combinación lineal,

$c_1[1\:0]+c_2[0\:1]+c_3[1\:1]+c_4[2\:2] = [s_1\:s_2]\in\{0,1,2\}^2$ donde $c_1\in\{0,1\}, c_2\in\{0,1,2\}, c_3\in\{0,1\}, c_4\in\{0,1\}$ ?

Answer 1

Presumiblemente $V=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}^2$ no es más que un espacio vectorial sobre el campo $F=\mathbb{Z}_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}$ . Utilizo los subrayados para enfatizar el hecho de que los elementos no son simples números enteros. Son clases de residuos módulo tres.

Los vectores $[\overline{0}\ \overline{1}]$ y $[\overline{1}\ \overline{0}]$ abarcan el espacio vectorial $V$ . La palabra span conlleva el significado de que el conjunto de multiplicadores es todo de $F$ .

Pero basta de despotricar. Su pregunta es, si podemos determinar fácilmente, si un subconjunto de multiplicadores, elegidos a mano por separado para cada generador, sigue dando todos los vectores del espacio como combinaciones lineales restringidas. No conozco un método general para comprobarlo. Se pueden probar técnicas ad hoc. Por ejemplo, en el ejemplo concreto que has enumerado, el multiplicador de $[\overline{0}\ \overline{1}]$ no estaba limitado. Eso significa que al utilizar un término $c [\overline{0}\ \overline{1}]$ (para algunos $c\in F$ ), siempre podemos ajustar el segundo componente al valor que queramos. Por lo tanto, basta con comprobar que podemos dar al primer componente cualquier valor que queramos. Pero todos los valores posibles: $\overline{0},$ $\overline{1}$ y $\overline{2}$ con multiplicador uno (que aparentemente es siempre permitido ). Como el cero también está (aparentemente) siempre permitido como multiplicador, podemos concluir que en este caso de ejemplo la respuesta es afirmativa.