Las series de Eisenstein son funciones propias del operador laplaciano no euclidiano. En general, ¿son las formas automórficas, por definición, funciones propias de determinados operadores?
Respuesta
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Sí y no. :) Es cierto que la literatura oficial al respecto puede crear una impresión engañosa, similar a decir que una "función periódica" sobre $\mathbb R$ debe ser una función propia de $d^2/dx^2$ . En el caso automórfico, está implícito que (la mayoría de) las discusiones sobre " $\Gamma$ -funciones periódicas" se refiere en realidad a especial $\Gamma$ -funciones periódicas, similares a las exponenciales (o seno y coseno) entre las funciones periódicas en la recta real.
La diferencia en las situaciones es que el individuo especial funciones periódicas en el contexto automórfico son cosas mucho más sutiles que en el periódico-en- $\mathbb R$ contexto.
Pero, sí, de hecho, la definición ortodoxa de forma/función automórfica requiere $\mathfrak z$ -finitud, donde $\mathfrak z$ es el centro del álgebra envolvente del álgebra de Lie $\mathfrak g$ del grupo Lie real $G_\infty$ es decir, los puntos arquimedianos del grupo algebraico ambiente. Esta generalización ligeramente evasiva de ``simultaneous eigenfunction for $\mathfrak z$ '' permite combinaciones lineales finitas de funciones propias, así como derivadas de series de Eisenstein con respecto al parámetro espectral ` $s$ '.
Pero, no, no todo en $L^2(\Gamma\backslash G)$ ni en $L^2(G_k\backslash G_{\mathbb A})$ es una función propia de estos operadores.
El teorema de descomposición espectral es que todo en $L^2$ es una superposición de funciones propias (lo que significa que no sólo hay que utilizar auténticas $L^2$ eigenfunciones, sino también no $L^2$ eigenfunciones como las series de Eisenstein).
