Yo respondería primero desde el punto de vista matemático. Matemáticamente hay una diferencia entre una cantidad con una unidad, como
$$1\ \mathrm{m}$$
y sólo
$$1$$
. Esta noción fue comprendida -en una medida primigenia- hasta Euclides de Alejandría (hacia el 300 a.C.), el mismo de quien es epónima la geometría euclidiana. Él consideraba la noción de magnitud que tenían diferentes "tipos" - longitudes, áreas, etc., frente a relación que estaba entre dos magnitudes del mismo tipo. Hoy podríamos decir que las magnitudes son el primer tipo de cantidad, y las proporciones como "números puros" del segundo tipo de cantidad.
La diferencia crucial es que las magnitudes no función como hacen los cocientes: se pueden sumar dos magnitudes del mismo tipo, por ejemplo $1\ \mathrm{m} + 5\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{m}$ pero no se pueden sumar dos magnitudes de diferente tipos, por ejemplo $1\ \mathrm{m} + 5\ \mathrm{m}^2$ es una tontería. Usted puede multiplicar dos magnitudes de distinto tipo, o del mismo tipo, pero la magnitud será de otro tipo, por ejemplo, dos longitudes multiplicadas por un área, que hoy en día utilizaríamos para describir algo como
$$(a\ \mathrm{m})(b\ \mathrm{m}) = ab\ \mathrm{m^2}$$
Pero por otro lado puede de hecho, suma y multiplica las proporciones todo lo que quieras, porque todas son del mismo tipo.
Desde una perspectiva moderna, definiríamos los cocientes como elementos del sistema de números reales "puros". $\mathbb{R}$ y mientras que Euclides tomó las magnitudes como noción primitiva de la que se derivan las razones, nosotros tomamos efectivamente las razones como primarias, y derivamos de ellas las magnitudes. En cierto sentido, los elementos de $\mathbb{R}$ son cosas que "quieren cambiar la cantidad de algo, para hacerlo más grande o más pequeño, o más o menos numeroso, según la "cantidad de tamaño" que encarnan - si se sigue esto lo suficientemente lejos se llega a los anillos de endomorfismo y, aún más lejos, a la noción de producto categórico (véase, por ejemplo, la discusión de Qiaochu Yuan aquí: https://math.stackexchange.com/questions/56663/is-there-a-natural-way-to-extend-repeated-exponentiation-beyond-integers/56710#56710 ). De hecho, esto se plasma en la terminología matemática: por eso los llamamos "escalares" en álgebra vectorial. Y también conecta con cómo los utilizamos en el lenguaje natural: cuando digo "tres manzanas", "tres" es algo que "modifica", o actúa sobre manzana" para producir conceptualmente la noción de tres de ellas. Además, en esto consiste "realmente" la multiplicación (en lugar de la "suma repetida"): multiplicar es, dados dos escalares, encontrar un tercero que actúe sobre las cosas como uno seguido de otro.
Las magnitudes son una bestia más complicada - la forma de construirlas tendría que ser básicamente un conjunto de conjuntos de números reales "etiquetados" o "tipificados" que son efectivamente espacios vectoriales 1D en los que, dentro de cualquiera de ellos, los números etiquetados se pueden sumar y también reescalar por escalares "puros" (es decir, ratios) reales con una operación de división adicional que produce un ratio. e. ratios) reales con una operación de división adicional que produce un ratio, y finalmente una operación de multiplicación "trans-tipo" que opera sobre la unión disjunta de todos los conjuntos de la familia (es decir, la "agrupación" de todos los reales etiquetados). No estoy seguro en absoluto de cómo se llama este tipo de estructura o si se ha estudiado antes en la literatura matemática.
Ahora, volviendo a tu pregunta sobre la física y la relatividad especial, podemos emplear este formalismo para resolver el enigma de la siguiente manera. En lugar de concentrarnos en todas las ecuaciones, sólo nos concentraremos en la básica que describe la geometría Minkowskiana, es decir, su elemento de línea
$$d\tau^2 = dt^2 - \frac{1}{c^2} (dx^2 + dy^2 + dz^2)$$
. Como estamos hablando de cantidades físicas, éstas son magnitudes . En $dx$ etc. NO números reales(*). Pertenecen al segundo tipo de estructura que acabo de comentar. Tienen "unidades", y la multiplicación típica por $\frac{1}{c^2}$ acaba convirtiendo unidades de espacio (al cuadrado) en unidades de tiempo (al cuadrado), de modo que la resta de $dt^2$ puede proceder.
Sin embargo, si tomamos " $c = 1$ ", entonces técnicamente hay una diferencia: para uno, tal como está escrito, eso no tendría sentido en lo anterior ya que eso haría que $c$ un escalar ("cociente" en terminología euclidiana). Como se observa, tenemos que tomar $c = 1\ \frac{\mbox{distance unit}}{\mbox{time unit}}$ para mantenerse dentro de los límites del sistema de magnitudes. Sin embargo, si hacemos esto podemos pasar por el isomorfismo natural que "quita las unidades", es decir, que "saca las etiquetas de los reales etiquetados" que componen las magnitudes, que podemos denotar como $\mathrm{strip}(x)$ y llegar a
$$\mathrm{strip}(d\tau^2) = \mathrm{strip}\left(dt^2 - \frac{1}{c^2}(dx^2 + dy^2 + dz^2)\right)$$
y luego filtrando todas las relaciones de isomorfismo,
$$[\mathrm{strip}(d\tau)]^2 = [\mathrm{strip}(dt)]^2 - \frac{1}{[\mathrm{strip}(c)]^2}([\mathrm{strip}(dx)]^2 + [\mathrm{strip}(dy)]^2 + [\mathrm{strip}(dz)]^2)$$
y puesto que $\mathrm{strip}(c)$ es ahora un número real $1$ (tomar " $\frac{\mbox{distance unit}}{\mbox{time unit}}$ " apagado), $\frac{1}{[\mathrm{strip}(c)]^2} = 1$ y por tanto si abusamos de la notación en el $dx$ etc. para ir a sus homólogos despojados, obtenemos
$$d\tau^2 = dt^2 - (dx^2 + dy^2 + dz^2)$$
y está en este sentido esa configuración $c = 1$ hace las cosas "sin unidad". Si lo hiciéramos no hacer esto, todavía podríamos pasar por el $\mathrm{strip}$ isomorfismo, pero acabaríamos con un factor $\frac{1}{c^2}$ que dependía del sistema de unidades del que procedíamos originalmente .
(*) Sí, estoy llamando a una forma diferencial 1 un número real - ¡blah! I tienen ¡para mantenerlo simple de alguna manera! Imagina que son pequeños números reales finitos y que la forma es meramente sugerente :)
