Hallar el límite de una función $x^2 \sin{\frac{1}{x}}-x-xe^x$ como $x \rightarrow -\infty$

Question

Hallar el límite de una función $$x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)-x-xe^x$$ como $x \rightarrow -\infty$ .

El resultado es cero.

Sin utilizar la expansión de Taylor, ya que procede del examen de mitad del primer semestre.

Answer 1

El último término tiende a $0$ (deberías ser capaz de demostrarlo, es uno de los límites estándar asociados a la función exponencial) por lo que tienes que tratar con $x^{2}\sin(1/x)-x$ y luego poner $x=1/t$ para obtener $$\frac{\sin t - t} {t^{2}}$$ que puede demostrarse fácilmente que tiene límite $0$ como $t\to 0^{-}$ . Por tanto, el límite deseado es $0$ .