Un método general consiste en considerar una presentación infinita del grupo, y luego demostrar que cada subconjunto finito del conjunto de relaciones define un grupo con una propiedad claramente diferente. por ejemplo, el grupo de los faroleros tiene la presentación $\langle \ldots a_{-n}, \ldots, a_1, a_2, \ldots, a_n,\ldots,t \mid a_0^2=1, [a_i,a_j]=1, ta_it^{-1}=a_{i+1}\rangle$ . Toda subpresentación finita define un grupo que tiene como cociente uno de los siguientes grupos $H_n=\langle a_{-n}, \ldots, a_1, a_2, \ldots, a_n,t \mid a_0^2=1, [a_i,a_j]=1, ta_it^{-1}=a_{i+1}\rangle$ para algunos $n$ . El grupo $H_n$ es una extensión HNN de un grupo abeliano finito $\langle a_{-n},\ldots, a_n\rangle$ con la carta libre $t$ . Por lo tanto $H_n$ es un grupo virtualmente libre, en particular, $H_n$ contiene un subgrupo libre no abeliano. Por tanto, toda subpresentación finita define un grupo que contiene un subgrupo libre no abeliano, mientras que el grupo Lamplighter es resoluble y, por tanto, no puede contener un subgrupo libre no abeliano. Del mismo modo hiperbólico lacunar pero los grupos no hiperbólicos dados por presentaciones que satisfacen pequeñas condiciones de cancelación o sus generalizaciones son infinitamente presentados ya que cada subpresentación finita de su presentación define un grupo hiperbólico.
Tengo que añadir una caracterización muy bonita de los grupos metabélicos finitamente presentados: Robert Bieri y Ralph Strebel, Valoraciones y grupos metabélicos finitamente presentados En: Actas de la Sociedad Matemática de Londres 3.3 (1980), pp. 439-464, https://doi.org/10.1112/plms/s3-41.3.439
