¿Cómo puedo determinar si una función existe o no dadas dos derivadas parciales?

Question

"¿Puede existir un $C^2$ función $f(x,y)$ con $f_x = 2x-5y$ y $f_y=4x+y$ "?

Ante esta pregunta, ¿me basta con tomar la segunda derivada de estas funciones para demostrar la equivalencia de la derivada parcial mixta?

Answer 1

Con $f_x = 2x-5y$ y $f_y= 4x+y$ no hay $C^{2}$ para la que se mantienen estas relaciones.

Simplemente compruébalo, $f_{xy} = -5$ y $f_{yx}=4$ que son diferentes.

Answer 2

Dado que en la derivada parcial mixta el orden en que se toman las derivadas no es importante, se podría intentar calcular $f_{xy}=\frac{f_x}{\partial y}$ y $f_{yx}=\frac{f_y}{\partial y}$ y compararlas. Si son iguales, entonces $f_x$ y $f_y$ pueden proceder de la misma primitiva.