hallar una integral indefinida de una fracción

Question

(a) Demuestre que $\frac{4-3x}{(x+2)(x^2+1)}$ puede escribirse de la forma ${\frac{A}{x+2} + \frac{1-Bx}{x^2+1}}$ y hallar las constantes $A$ y $B$ .

(b) Por lo tanto, hallar $\displaystyle\int\frac{4-3x}{(x+2)(x^2+1)}dx$

Para (a) he encontrado que $B=2$ y $A=2$

Y no sé muy bien cómo integrarme. He intentado dividirlos en dos $\displaystyle\int\frac{2}{x+2 }dx$ y $\displaystyle\int\frac{1-2x}{x^2+1}dx$ pero no sé cómo hacer después.

Answer 1

Utilice $$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C.$$ Tenga en cuenta que $$\int\frac{2}{x+2}dx=2\int\frac{(x+2)'}{x+2}dx$$ $$\int\frac{1-2x}{x^2+1}dx=-\int\frac{2x}{x^2+1}dx+\int\frac{1}{x^2+1}dx=-\int\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}dx+\int\frac{1}{x^2+1}dx.$$ Aquí, ajuste $x=\tan\theta$ para $$\int\frac{1}{x^2+1}dx.$$

Answer 2

Pista:

Sea $u=x+2$ para \begin{equation} \int\frac{2}{x+2}dx \end{equation} Divida esta última integral en dos partes \begin{equation} \int\frac{1-2x}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{x^2+1}dx-\int\frac{2x}{x^2+1}dx \end{equation} entonces $x=\tan\theta$ utilizar también la identidad $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$ para \begin{equation} \int\frac{1}{x^2+1}dx \end{equation} y dejar $v=x^2+1$ para \begin{equation} \int\frac{2x}{x^2+1}dx \end{equation}

Answer 3

Bien, $$\int\frac{2}{x+2} dx= 2\log(x+2)$$ Así que tienes esa parte. Pero para: $$\int\frac{1-2x}{x^2 + 1} dx$$ Debes descomponer esta fracción en fracciones parciales: $$\frac{1 - 2x}{x^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{2x}{x^2 + 1}$$ Así que esta integral se convierte: $$\int\frac{1 - 2x}{x^2 + 1} dx= \int\frac{1}{x^2 + 1}dx - \int\frac{2x}{x^2 + 1}dx$$ $$= \tan^{-1}x - \log(x^2 + 1)$$ Y en general: $$\int\frac{4-3x}{(x+2)(x^2 + 1)}= 2\log(x+2) + \tan^{-1}x - \log(x^2 + 1) + c$$ Nótese que la constante se omite hasta el final, sólo para simplificar la respuesta.