Hace unos años, Schechtman demostró que $\ell_p(\ell_q)$ no admite una base codiciosa siempre que $1\leq p\neq q<\infty$ . Esto proporciona un ejemplo de un espacio de Banach con una base incondicional pero no codiciosa. Sin embargo, también me interesa lo siguiente:
Pregunta 1. ¿Existe un espacio de Banach $X$ ¿admitir una base incondicional pero no una base cuasicondicional?
En Dilworth/Kalton/Kutzarova ("On existence of almost greedy bases") se demostró que $c_0$ es la única (hasta isomorfismo) $\mathcal{L}_\infty$ -que admite una base cuasi-greedy. Por lo tanto, para encontrar una respuesta positiva a la pregunta 1, basta con encontrar una respuesta negativa a la siguiente:
Pregunta 2. Es $c_0$ el único $\mathcal{L}_\infty$ -espacio que admite una base incondicional?
En Albiac/Kalton se demuestra que si $K$ es metrizable entonces $C(K)$ admite una base incondicional si y sólo si $C(K)\approx c_0$ . El hecho de que hayan utilizado la metrizabilidad en su demostración me hace pensar que tal vez exista un contraejemplo al acecho cuando $K$ no es metrizable. Por lo tanto, podríamos preguntar:
Pregunta 3. Es $c_0$ el único $C(K)$ espacio (donde $K$ es compacta Hausdorff) que admite una base incondicional?
Como cada $C(K)$ espacio es un $\mathcal{L}_\infty$ -espacio, una respuesta negativa a la pregunta 3 daría una respuesta negativa a la pregunta 2 y, por tanto, una respuesta positiva a la pregunta 1.
Recientemente, Argyros/Gasparis/Motakis demostraron que $X$ es un separable $\mathcal{L}_\infty$ -si y sólo si es isomorfo a un espacio denominado Espacio Bourgain Delbaen (cuya definición es complicada pero puede encontrarse en su papel ). Por lo tanto, la pregunta 2 es equivalente a la siguiente:
Pregunta 4. Es $c_0$ ¿el único espacio de Bourgain Delbaen que admite una base incondicional?
De nuevo, una respuesta negativa aquí significaría una respuesta positiva a la pregunta 1, que es lo que espero encontrar.
Gracias de antemano, chicos.
