Confusión sobre el significado en Bott y Tu sobre secuencias espectrales

Question

Si alguien pudiera ayudar a explicar algunas partes de esta discusión se lo agradecería mucho, sobre todo porque parece que todas las demás fuentes sobre secuencias espectrales parecen utilizar notación e ideas completamente diferentes.

Mi principal confusión proviene de la afirmación "el mapa $i$ ya no es necesaria la inclusión". ¿Qué es entonces este mapa? ¿Por qué no es inclusión? ¿No es $i = i_1$ ¿sólo el mapa inducido de la inclusión en la cohomología? Entiendo que esto no da necesariamente la inclusión de los grupos de cohomología, pero entonces ¿por qué se convierte en inclusión después de aplicarlo, es decir, ¿por qué es $iH(K_1) \hookrightarrow H(K)$ inclusión pero $H(K_1) \to H(K)$ ¿No?

También cuando escriben $H(A)$ No entiendo muy bien qué significa esto, sobre todo si el complejo original $K$ ¡no se califica! En mi mente $H(A) = \oplus_k H^k(A) = \oplus_k H^k(\oplus_p K_p) = \oplus_k \oplus_p H^k(K_p)$ pero ¿qué es $H^k(K_p)$ si no hay graduación en $K$ ?

Answer 1

El mapa $i$ es, en efecto, el mapa inducido por $i_1$ en cohomología, normalmente denotado $(i_1)^*$ . Como sabe, aunque $i_1$ es una inclusión, su mapa inducido no tiene por qué serlo.

No "se convierte en una inclusión después de aplicarla". El espacio $iH(K_1)$ es el imagen de $i$ (quizá estés acostumbrado a una notación con paréntesis, $i(H(K_1))$ . Es un subespacio de $H(K)$ y el mapa $iH(K_1) \to H(K)$ es simplemente la inclusión de este subespacio. No es el mapa $i$ más.

Si el complejo $K$ es graduado, entonces $H(K) = \bigoplus_k H^k(K)$ . Si el complejo no está graduado, entonces $H(K)$ es simplemente el cociente $\ker(d) / \operatorname{im}(d)$ donde $d : K \to K$ es el diferencial (que es simplemente un mapa lineal tal que $d \circ d = 0$ ). Tienes razón en que no tiene graduación si $K$ no se califica para empezar, así que $H^k(K)$ no es algo que tendría sentido, sólo $H(K)$ .

Tenga en cuenta que hay una pequeña confusión en su pregunta. Con la notación de Bott & Tu, $K_p$ no es un sumando directo de $K$ es un subcomplejo y $K$ (y $K$ se filtra: $K = K_0 \supset K_1 \supset K_2 \supset \dots$ ). Por tanto, la cohomología $H(K)$ es no $\bigoplus_{k,p} H^k(K_p)$ sería demasiado grande, habría redundancia, algunos términos aparecerían varias veces.