Racionalización generalizada en extensiones de campo radical finito

Question

En el caso de la raíz cuadrada de una extensión radical de, digamos, $\mathbb{Q}$ tenemos que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b \sqrt{2} | a, b \in \mathbb{Q} \}$ .

El único axioma semidifícil de demostrar es que existen los inversos. Razonamos que se trata de un campo porque el inverso de $a + b \sqrt{2}$ puede hallarse racionalizando el denominador. Específicamente:

$$ \frac{1}{a + b \sqrt{2}} = \frac{a - b \sqrt{2}}{a^2 - 2b^2} = \frac{a}{a^2 - 2b^2} - \frac{b}{a^2 - 2b^2} \sqrt{2},$$ que es claramente de la forma $x + y \sqrt{2}$ para $x, y \in \mathbb{Q}$ por el cierre de los racionales en las operaciones aritméticas.

Digamos que queremos considerar $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2})$ . Mi intuición me dice que esto debería ser algo parecido -- al menos sabemos que claramente $\{a + b \sqrt{2} + c \sqrt[3]{2} | a, b, c \in \mathbb{Q} \} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2})$ (aunque no estoy seguro exactamente).

Sólo estoy aprendiendo extensiones de campo, así que no estoy seguro de si esto es correcto, pero creo que se puede decir $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}): \mathbb{Q}]= 2 \cdot 3$ porque el grado de la extensión de la raíz cuadrada es 2, y entonces se puede demostrar que $x^3 - 2$ un polinomio de grado 3, es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ .

¿Podemos generalizar alguna forma de "racionalización" que nos ayude a demostrar que los inversos existen "directamente" del modo en que lo hacemos a partir del caso de la raíz cuadrada? Como mínimo, ¿la existencia de una extensión de campo de grado finito prueba que existen racionalizaciones algebraicas de esta forma?

Answer 1

La racionalización es una instancia de Algoritmo de Euclides tal como se utiliza para obtener Identidad de Bezout .

Sea $E$ sea un campo, y sea $\alpha \in E$ sea algebraico sobre un campo $F \subseteq E$ . Entonces el polinomio mínimo $f$ de $\alpha$ en $F$ es irreducible en $F[x]$ .

Sea $0 \ne \beta \in F(\alpha)$ . Entonces $\beta = g(\alpha)$ para algunos $g \in F[x]$ . Claramente $g$ no es divisible por $f$ como $\beta = g(\alpha) \ne 0$ . Desde $f$ es irreducible, $\gcd(g, f) = 1$ . Euclides da $u, v \in F[x]$ tal que $$ 1 = g u + f v. $$ Evaluar para $x = \alpha$ para obtener $$ 1 = g(\alpha) u(\alpha) + f(\alpha) v(\alpha) = g(\alpha) u(\alpha). $$ Así que $$ \frac{1}{\beta} = \frac{1}{g(\alpha)} = {u(\alpha)} $$ es la racionalización necesaria.

Answer 2

He aquí un método que funciona en su caso concreto y también generaliza.

Sabemos que $\mathbb Q$ es un campo, por lo que $\mathbb Q[x]$ es un PID. Sabemos que $x^2-2$ es irreducible sobre $\mathbb Q$ y tiene $\sqrt 2$ como raíz. Es fácil ver que divide todo polinomio que tenga $\sqrt 2$ como raíz.

Consideremos el homomorfismo $\phi: \mathbb Q[x] \rightarrow \mathbb Q [\sqrt 2]$ enviando $x$ a $\sqrt 2$ . Por un teorema estándar sobre homomorfismos, tenemos

$$\frac{ Q [x]}{\ker \phi} \cong \mathbb Q[\sqrt 2].$$

Sabemos que el núcleo es un ideal. Porque $\mathbb Q[x]$ es un PID, está generado por un único elemento, y por las consideraciones anteriores vemos que este elemento es $x^2-2$ . Así que

$$\frac{ Q [x]}{(x^2-2)} \cong \mathbb Q[\sqrt 2].$$

Tenga en cuenta que $\mathbb Q[x]$ es un PID y $x^2-2$ es irreducible, $(x^2-2)$ genera un ideal maximal. Así que $Q[\sqrt 2]$ es un campo y $\mathbb Q[\sqrt 2]=\mathbb Q(\sqrt 2)$ . Esto demuestra que no necesitamos añadir nada más que polinomios en $\sqrt 2$ para obtener un campo.

Este argumento puede repetirse para $\sqrt[3] 2$ en $Q(\sqrt 2)$ casi palabra por palabra. En realidad no necesitas encontrar el polinomio que genera el núcleo. Todo lo que necesitas demostrar es que el que lo hace es irreducible, y eso te lo dejo a ti. Házmelo saber si quieres más detalles.