Aquí está la pregunta en pocas palabras. Para algún $ n \ in \ mathbb N $, consideramos el polinomio
$ \ det \ left (\ left (X_ {i, j} \ right) _ {1 \ leq i \leq n, \ 1 \ leq j \leq n} \ right) \ in \ mathbb Z \ left [X_ {i, j} \ mid 1 \ leq i \ leq n, \ 1 \ leq j \ leq n \ right] $
en $ n ^ 2 $ indeterminados $ X_ {i, j} $. Se sabe que esto es irreducible sobre $ \ mathbb Z $, pero ¿hay un anillo "bueno" en el que se incruste $ \ mathbb Z $ y donde este polinomio se divida en factores lineales? El anillo no necesita ser conmutativo, pero se supone que las variables $ X_ {i, j} $ todavía conmutan con todo en este anillo. Por ejemplo, si $ n = 1 $, entonces el anillo se puede tomar como $ \ mathbb Z $, y si $ n = 2 $, entonces se puede tomar como $ M_2 \ left (\ mathbb Z \ right) $, ya que
$ \ det \ left (\ begin {array} {cc} X & Y \ Z & W \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {cc} X & Y \ Z & W \ end {array} \ right) \ mathrm {adj} \ left (\ begin {array} {cc} X & Y \ Z & W \ end {array } \ right) $,
y ambos factores en el lado derecho son lineales en $ X $, $ Y $, $ Z $, $ W $. Sin embargo, para $ n> 2 $, la adjunta ya no es lineal. ¿Podemos extender $ M_n \ left (\ mathbb Z \ right) $ aún más para hacerlo dividir? (Esto es lo que quiero decir con "bueno" - debería ser una especie de generalización natural de $ M_n \ left (\ mathbb Z \ right) $. Aunque tengo problemas para construir incluso un anillo de división no agradable ...)
Aquí está la fuente real de la pregunta:
Keith Conrad, en su documento expositivo The Origin of Representation Theory , discute un problema aparentemente olvidado que se remonta a Dedekind: Dado un grupo finito $ G $, el polinomio $ \ det \ left (\ left (X_ {gh ^ {-1}} \ right) _ {g \in G, \ h \ in G} \ right) \ in \ mathbb Z \ left [X_g \ mid g \ en G \ right] $ (esto es una generalización del circulante, que se obtiene si $ G $ es un grupo cíclico) se sabe que se divide en un producto de factores irreducibles de la siguiente manera:
$ \ det \ left (\ left (X_ {gh ^ {-1}} \ right) _ {g \ en G, \ h \ en G} \ right) = \ prod \ limits_ { \ rho \ text {es un reductor de} G \ text {sobre} \ mathbb C} \ det \ left (\ sum \ limits_ {g \ en G} X_g\rho \ left (g \ right) \ right) ^ {\ dim \ rho} $
(Bueno, al parecer Keith escribe $ \ deg \ rho $ en lugar de $ \ dim \ rho $, pero de lo contrario esto está en su Sección 5.)
Ahora, algunos de los factores en el lado derecho - aquellos que corresponden a representaciones de dimensión> 1 - son no lineales, y Dedekind intentó dividirlos en factores lineales mediante la extensión del campo base. Se dan dos ejemplos, y ambas veces la extensión del campo es más o menos el anillo de endomorfismo. de la representación $ \ rho $ - pero esto no es sorprendente, porque ambas veces $ \ dim \ rho = 2 $, y tenemos la descomposición adjunta que di arriba para el caso $ n = 2 $. El problema realmente interesante parece ser el caso $ n> 2 $. Dado que cualquier reductor $ \ rho $ sobre un campo algebraicamente cerrado como $ \ mathbb C $ tiene la propiedad de que el $ \ rho \ left (g \ right) $ para todos los $ g \ en G $ abarcan todo el anillo de endomorfismo del reductor (esto se llama teorema de densidad, creo), realmente podemos olvidarnos del reductor e intentar dividir el determinante de la matriz general. Ese es el problema anterior.