Dividir el polinomio determinante en factores lineales - un problema de Dedekind

Question

Aquí está la pregunta en pocas palabras. Para algún $ n \ in \ mathbb N $, consideramos el polinomio

$ \ det \ left (\ left (X_ {i, j} \ right) _ {1 \ leq i \leq n, \ 1 \ leq j \leq n} \ right) \ in \ mathbb Z \ left [X_ {i, j} \ mid 1 \ leq i \ leq n, \ 1 \ leq j \ leq n \ right] $

en $ n ^ 2 $ indeterminados $ X_ {i, j} $. Se sabe que esto es irreducible sobre $ \ mathbb Z $, pero ¿hay un anillo "bueno" en el que se incruste $ \ mathbb Z $ y donde este polinomio se divida en factores lineales? El anillo no necesita ser conmutativo, pero se supone que las variables $ X_ {i, j} $ todavía conmutan con todo en este anillo. Por ejemplo, si $ n = 1 $, entonces el anillo se puede tomar como $ \ mathbb Z $, y si $ n = 2 $, entonces se puede tomar como $ M_2 \ left (\ mathbb Z \ right) $, ya que

$ \ det \ left (\ begin {array} {cc} X & Y \ Z & W \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {cc} X & Y \ Z & W \ end {array} \ right) \ mathrm {adj} \ left (\ begin {array} {cc} X & Y \ Z & W \ end {array } \ right) $,

y ambos factores en el lado derecho son lineales en $ X $, $ Y $, $ Z $, $ W $. Sin embargo, para $ n> 2 $, la adjunta ya no es lineal. ¿Podemos extender $ M_n \ left (\ mathbb Z \ right) $ aún más para hacerlo dividir? (Esto es lo que quiero decir con "bueno" - debería ser una especie de generalización natural de $ M_n \ left (\ mathbb Z \ right) $. Aunque tengo problemas para construir incluso un anillo de división no agradable ...)

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Aquí está la fuente real de la pregunta:

Keith Conrad, en su documento expositivo The Origin of Representation Theory , discute un problema aparentemente olvidado que se remonta a Dedekind: Dado un grupo finito $ G $, el polinomio $ \ det \ left (\ left (X_ {gh ^ {-1}} \ right) _ {g \in G, \ h \ in G} \ right) \ in \ mathbb Z \ left [X_g \ mid g \ en G \ right] $ (esto es una generalización del circulante, que se obtiene si $ G $ es un grupo cíclico) se sabe que se divide en un producto de factores irreducibles de la siguiente manera:

$ \ det \ left (\ left (X_ {gh ^ {-1}} \ right) _ {g \ en G, \ h \ en G} \ right) = \ prod \ limits_ { \ rho \ text {es un reductor de} G \ text {sobre} \ mathbb C} \ det \ left (\ sum \ limits_ {g \ en G} X_g\rho \ left (g \ right) \ right) ^ {\ dim \ rho} $

(Bueno, al parecer Keith escribe $ \ deg \ rho $ en lugar de $ \ dim \ rho $, pero de lo contrario esto está en su Sección 5.)

Ahora, algunos de los factores en el lado derecho - aquellos que corresponden a representaciones de dimensión> 1 - son no lineales, y Dedekind intentó dividirlos en factores lineales mediante la extensión del campo base. Se dan dos ejemplos, y ambas veces la extensión del campo es más o menos el anillo de endomorfismo. de la representación $ \ rho $ - pero esto no es sorprendente, porque ambas veces $ \ dim \ rho = 2 $, y tenemos la descomposición adjunta que di arriba para el caso $ n = 2 $. El problema realmente interesante parece ser el caso $ n> 2 $. Dado que cualquier reductor $ \ rho $ sobre un campo algebraicamente cerrado como $ \ mathbb C $ tiene la propiedad de que el $ \ rho \ left (g \ right) $ para todos los $ g \ en G $ abarcan todo el anillo de endomorfismo del reductor (esto se llama teorema de densidad, creo), realmente podemos olvidarnos del reductor e intentar dividir el determinante de la matriz general. Ese es el problema anterior.

Answer 1

Esta pregunta se puede abordar como un problema universal.

Encuentra una extensión de anillo $f:R\to S$, donde $R=\mathbb{Z}[x_{ij}]$ y $f(R)\subseteq Z(S)$, y elementos $a_{ij}^k\in S$ tales que

$$ (*) \qquad \det[x_{ij}]=\prod_{k=1}^n (\sum_{ij}x_{ij}a_{ij}^k).$$

Claramente, existe una solución universal, es decir, $S=S_n$ es el cociente del anillo de polinomios no conmutativos $R\langle a_{ij}^k \rangle$ ($R$ es central) módulo las relaciones obtenidas al expandir (*) en las variables $x_{ij}$ e igualar los coeficientes. Ahora, "solo" queda demostrar que $f$ es una inyección. No veo una forma obvia de hacerlo, el absurdo abstracto solo te lleva hasta cierto punto, pero esta parece ser una perspectiva valiosa (técnicas similares se han aplicado al estudio de álgebras PI utilizando el anillo de matrices genéricas). Soy escéptico de que para $n\geq 3$, se pueda encontrar una solución explícita (es decir, una imagen homomórfica de $S_n$) entre los anillos familiares.

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Observación. También debo mencionar que algo muy similar es posible:

$$ (**) \qquad \det[x_{ij}]\prod_{i=1}^n\xi_i= \prod_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n x_{ij}\xi_j\right)= \prod_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^n x_{ij}\xi_i\right),$$

donde $\xi_1,\ldots,\xi_n$ son los generadores del álgebra exterior de rango $n$ $\Lambda$ sobre el anillo $R=\mathbb{Z}[x_{ij}]$. Esto es simplemente una reformulación de las expansiones por fila y columna del determinante en términos del álgebra exterior. Tanto las expresiones del lado medio como del lado derecho en (**) son productos de formas lineales en $x_{ij}.$ Por supuesto, el producto $\prod_i \xi_i$ en el lado izquierdo no es invertible, al contrario, genera el socle de $\Lambda$ como un módulo $\Lambda_R$, por lo que no puedes simplemente dividir cada factor lineal en el lado derecho por el $\xi_i$ correspondiente e aislar el determinante.

Answer 2

Su pregunta se extiende a otros polinomios homogéneos, y es interesante en ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo, $$X^2-Y^2-Z^2-W^2=(X+Ya+Zb+Wc)(X-Ya-Zb-Wc)$$ donde $a,b,c$ son las matrices de Pauli $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 0 & -i \\\\ i & 0 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$ Esto proporciona una factorización del operador de onda $\partial_t^2-\partial_x^2-\partial_y^2-\partial_z^2$ en operadores de primer orden. No estoy seguro de si hay una caracterización de aquellos operadores hiperbólicos que pueden ser divididos en factores de primer orden.

Answer 3

No sé por qué dices que el problema de Dedekind está "olvidado": el determinante de Dedekind se discute en libros de teoría de números. La factorización para la representación regular de grupos finitos generales fue discutida por Frobenius (instigado por Dedekind). Ver Serge Lang, Campos Ciclotómicos p. 89 (puede leerse en Google Books); la historia desde 1896 mencionada en la p. 90. (Me doy cuenta de que esto no responde a la pregunta). ¿Quizás algún truco con identidades estándar?