¿Cómo resolver una EDP con un proceso de Poisson casi periódico?

Question

Para el modelo clásico de comilla GBM, $$\frac{dS}{S} = \mu \cdot dt + \sigma \cdot dW$$

tenemos la solución: $$S(t)=S(0)\, \exp\left(\frac{\mu-\sigma^2}{2} t+\sigma W(t)\right).$$

Durante el cálculo, Se podría utilizar el lema de Ito .

Si sustituimos el dW por un proceso de Poisson, aún es posible resolverlo.

Sin embargo, si cambiamos el dW por un proceso poisson cuasi-periódico, ¿cómo podríamos resolver la EDP?

Por proceso de Poisson cuasi-periódico quiero decir:

Sea $\tau_i$ como una secuencia de variables aleatorias exponenciales i.i.d, todas con la misma media $\eta$ .

Sea $N_i$ como una secuencia de procesos de Poisson i.i.d, todos con la misma densidad $\lambda$

Defina un "Proceso de Poisson reajustable (t)" como $$H(t) = N_{i-1}(t-\tau_{i-1}),$$ si $\tau_{i-1}<t<\tau_i$ Para mayor comodidad, definiremos simplemente $\tau_0=0$ .

Cómo resolver la EDP

$$\frac{dS}{S} = \mu \cdot dt + \rho \cdot dH\, ?$$

La gran diferencia es la cuasiperiodicidad $H(t)$ , ya no es una martingala.....

Answer 1

Parece que lo que tienes en mente es que $\tau_0=0$ y, para cada $n\geqslant1$ , $\tau_n=\sigma_1+\cdots+\sigma_n$ con $(\sigma_n)_{n\geqslant1}$ i.i.d. y con distribución exponencial (compárese con la versión de su mensaje).

De todas formas, en este escenario, no hay componente browniana en las variaciones del proceso $(S_t)_{t\geqslant0}$ cuyas trayectorias saltan en cada momento $\tau_n$ y cuando el proceso de Poisson implica saltos, pero tiene una variación finita entre ellos. Para cada $\tau_{n-1}\leqslant t\lt\tau_{n}$ y cada $n\geqslant1$ , $$ \log S_t=\log S_0+\mu t+\rho N_{n-1}(t-\tau_{n-1}). $$ es decir, $$ S_t=S_0\cdot\mathrm e^{\mu t}\cdot\sum_{n\geqslant1}\mathrm e^{\rho N_{n-1}(t-\tau_{n-1})}\cdot[\tau_{n-1}\leqslant t\lt\tau_{n}]. $$ En palabras, $t\mapsto\rho^{-1}(\log S_t-\log S_0-\mu t)$ realiza un proceso de salto puro, de valor entero, con saltos $n\to n+1$ al ritmo $\lambda$ para cada $n\geqslant0$ y salta $n\to0$ al ritmo $1/\eta$ para cada $n\geqslant1$ .

Answer 2

Aunque la respuesta de Didier cubre la pregunta que tienes, creo que merece la pena añadir algunos comentarios.

Se suele pensar que los procesos de salto son más complicados que un movimiento browniano (continuo), sin embargo esto no es cierto cuando se trata de una integración ya que existe una diferencia crucial: para un proceso de salto puro es posible definir una integral puntualmente (es decir, para cada $\omega\in \Omega$ ), por lo que la estocasticidad no desempeña ningún papel siempre que se cumplan algunas condiciones (véase más adelante). Por otra parte, no funciona para el movimiento browniano, cuyas trayectorias son a.s. de variación ilimitada, por lo que tenemos que utilizar la estructura probabilística de las trayectorias y definir una integral como $L^2$ -que, informalmente, puede considerarse una construcción más débil que el límite puntual.

Supongamos, $t\mapsto H_t(\omega)$ para cada $\omega\in\Omega$ es una función continua derecha de valor real definida en $t\in [0,\infty)$ s.t. en cualquier intervalo finito tiene finitamente muchos saltos de la amplitud finita y es constante entre los saltos. Utilicemos $\tau_k(\omega)$ a la hora de $k$ -ésimo salto de la trayectoria $H_t(\omega)$ . A continuación, para cada proceso $a(t)$ se puede definir una integral $$ \int\limits_0^t a(s-)dH_s(\omega) = \sum\limits_{s\leq t}a(s-)\Delta H_s = \sum\limits_{k: \;\tau_k\leq t}a(\tau_k-)\Delta H_{\tau_k} $$ que se define para cualquier $\omega\in \Omega$ . Aquí $f(s-) = \lim\limits_{u\uparrow s}f(u)$ es un límite izquierdo de $f$ en el punto $s$ y $$ \Delta f(s) = f(s) - f(s-). $$

Debido a la construcción puntual, no necesitamos el lema de Ito para resolver SDEs que son conducidas por procesos estocásticos de salto puro como el proceso de Poisson, el proceso de Poisson no homogéneo, el proceso que has descrito o cualquier otro proceso de conteo que en cualquier intervalo finito tiene finitamente muchos saltos a.s..

Ejemplo 1: consideremos una SDE $$ dS_t = S_{t-}dH_t. $$ La solución se puede escribir recursivamente: supongamos que nos dan $S_0$ . Sabemos que en el intervalo $[0,\tau_1)$ la función $H_t$ es constante, por lo que $dH_t = 0$ allí - así que $dS_t = 0$ en este intervalo y así $$ S_t = S_0\text{ for }t\in [0,\tau_1). $$ En aquel momento $\tau_1$ tenemos $$ \Delta S_{\tau_1} = S_{\tau_1-}dH_{\tau_1} = S_0\Delta H_{\tau_1} $$ y puesto que $S_{\tau_1} = S_{\tau_1-} + \Delta S_{\tau_1}$ por definición, tenemos $S_{\tau_1} = S_0(1+\Delta H_{\tau_1})$ . Por inducción suponemos que $S_{\tau_k}$ es conocido y por lo tanto como arriba obtenemos: $$ S_t = \begin{cases} S_{\tau_k},&\text{ if }t\in [\tau_k,\tau_{k+1}) \\ S_{\tau_{k}}(1+\Delta H_{\tau_{k+1}}),&\text{ if }t = \tau_{k+1}. \end{cases} $$ Como resultado, obtenemos que la solución puede escribirse de forma más compacta como $$ S_t = S_0\cdot 1_{[0,\tau_1)}(t) +S_0\sum\limits_{k\geq 1}1_{[\tau_k,\tau_{k+1})}\prod\limits_{j=1}^k(1+\Delta H_{\tau_j}). $$ No es que aquí no importe que distribución siguen los tiempos de salto $\tau_k$ ya que la solución viene dada puntualmente en $\omega\in \Omega$ .

Ejemplo 2: considerar y SDE $$ S_t = f(S_t)dt + S_{t-}dH_t $$ donde $f$ es Lipschitz, y supongamos que para una EDO $X_t = f(X_t)dt$ con $X_{t_0} = X_0$ la solución viene dada por la función $X_t = F(t;t_0,X_0)$ . Como en el caso anterior, obtenemos: $$ S_t = F(t;0,S_0)\text{ for }t\in [0,\tau_1) $$ y $S_{\tau_1} = F(\tau_1;0,S_0)(1+\Delta H_{\tau_1})$ . Recursivamente, obtenemos $$ S_t = F(t;\tau_1,S_{\tau_1})\text{ for }t\in [\tau_1,\tau_2) $$ y $S_{\tau_2} = F(\tau_1;\tau_1,S_{\tau_1})(1+\Delta H_{\tau_2})$ . Este método puede aplicarse, por ejemplo, para obtener la solución de un problema en el que $f(S) = \mu \cdot S$ .