Convergencia de la serie para cada número real

Question

Tenemos la secuencia $$x_n=\sum_{i=1}^n \frac{(2\alpha)^i}{4^i+(\alpha^2)^i}$$ y tenemos que demostrar que es convergente $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ . Si utilizamos el Teorema de Convergencia Absoluta, sólo tenemos que demostrarlo para $\alpha \gt 0$ . La secuencia es claramente monótona creciente, así que ¿cómo puedo encontrar un límite superior?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\left|\frac{(2\alpha)^i}{4^i+\alpha^{2i}}\right|\le \left|\frac{(2\alpha)^i}{4^i}\right|$$

y

$$\left|\frac{(2\alpha)^i}{4^i+\alpha^{2i}}\right|\le \left|\frac{(2\alpha)^i}{\alpha^{2i}}\right|$$

Pero ¿qué ocurre cuando $|\alpha|=2$ ?