Torres de automorfismo periódicas

Question

En el libro de texto clásico de Scott sobre Teoría de Grupos, se pregunta:

Supongamos que $G$ es un grupo finito. ¿Es la secuencia de tipos de isomorfismo de los grupos $Aut^{(n)}(G)$ para $n \in \mathbb{N}$ ¿eventualmente periódica?

Aquí $Aut^{(2)}(G) = Aut(Aut(G))$ etc. Equivalentemente, es la secuencia $|Aut^{(n)}(G)|$ ¿siempre acotado por arriba?

Aparentemente queda abierto si la secuencia de tipos de automorfismo de $Aut^{(n)}(G)$ es siempre constante. (Un maravilloso teorema de Wielandt dice que si $G$ es un grupo finito sin centro, entonces la sucesión es eventualmente constante). Así que me gustaría preguntar:

¿Existe un grupo finito tal que $Aut(G) \not \cong G$ pero $Aut^{(n)}(G) \cong G$ para algunos $n \geq 2$ ?

Edito: Joel ha señalado que mi pregunta quizás esté abierta incluso a grupos infinitos. Esto suena como una pregunta interesante que no parece susceptible a los trucos estándar.

Answer 1

Como continuación a mi respuesta anterior, he calculado todas las series de automorfismos para grupos de orden hasta 24 dentro de los límites de lo que podía hacer con GAP. Voy a compartir algo de lo que he encontrado, a lo largo de Voy a utilizar la notación $(n,d)$ para el grupo de orden $n$ con el identificador de la biblioteca GAP $d$ . Para grupos grandes no contenidos en la biblioteca, utilizaré $<r,n>$ para denotar un grupo con un grupo generador mínimo de tamaño $r$ y de orden $n$ si sólo conozco un límite para $r$ Utilizaré $<\leq r,n>$ para denotar ese hecho. Diremos que un grupo $G$ se estabiliza (en $k$ ) si $Aut^{(k-1)}(G) \not\simeq Aut^{(k)}(G) \simeq Aut^{(k+1)}(G)$ . Llamaremos a un grupo $G$ estable si $G \simeq Aut(G)$ .

He comprobado que todos los grupos de orden hasta 24 se estabilizan excepto los siguientes grupos:

$(16,5)$ , $(16,6)$ , $(16,7)$ , $(16,8)$ , $(16,9)$ , $(16,10)$ , $(16,11)$ , $(24,4)$ , $(24,6)$ , $(24,7)$ , $(24,9)$ y $(24,10)$ .

Cabe destacar que muchos de estos grupos tienen el mismo grupo de automorfismo, por lo que sus series son idénticas a partir de $k=1$ en adelante. Específicamente, $(16,5)$ , $(16,6)$ , $(16,8)$ , $(24,9)$ y $(24,10)$ todos tienen $(16,11)$ como su grupo de automorfismo. Los grupos $(16,7)$ , $(16,9)$ tienen el mismo grupo de automorfismo y también los grupos $(24,4)$ , $(24,6)$ y $(24,7)$ .

La siguiente es una lista de los grupos que sé que son estables, está completa sólo hasta el orden 24, y doy una Descripción Estructural de los de orden hasta 24:

$(1,1) \simeq \mathbb{Z}_1$ , $(6,1) \simeq S_3$ , $(8,3) \simeq D_8$ , $(12,4) \simeq D_{12}$ , $(20,3) \simeq \mathbb{Z}_5 \rtimes \mathbb{Z}_4$ , $(24,12) \simeq S_4$ .

Todavía están en la biblioteca: $(40,12)$ , $(42,1)$ , $(48,48)$ , $(54,6)$ , $(110,1)$ , $(144,183)$ , $(336,208)$ , $(384,5678)$ , $(432,734)$ , $(1152,157849)$ .

Son demasiado grandes para estar en la biblioteca: $<2,40320> \simeq S_8$ , $<4,442368> \simeq Aut^{(6)}((16,3))$ .

Estos resultados me dan dos ideas (generales) sobre cómo atacar este problema: Una, analizar aquellos grupos para los que no he podido determinar la estabilización para ver si puedo encontrar algo que tengan en común y usarlo para demostrar que la conjetura es falsa. Dos, analizar los grupos estables para ver qué hace que sean estables y utilizar ese conocimiento para demostrar (de alguna manera) que todos los grupos deben estabilizarse finalmente. Ambas cosas requerirán probablemente un análisis detallado de cómo $Aut(G)$ surge de $G$ para ver cómo $G$ controla las propiedades de $Aut(G)$ .

Editar: Ahora tengo una lista completa de grupos estables de orden hasta 511, sus descripciones de estructura GAP ya revelan algunos patrones muy interesantes:

$(1,1)\simeq\mathbb{Z}_{1}$

$(6,1)\simeq S_{3}$

$(8,3)\simeq D_{8}$

$(12,4)\simeq D_{12}$

$(20,3)\simeq\mathbb{Z}_{5}\rtimes\mathbb{Z}_{4}$

$(24,12)\simeq S_{4}$

$(40,12)\simeq\mathbb{Z}_{2}\times(\mathbb{Z}_{5}\rtimes\mathbb{Z}_{4})$

$(42,1)\simeq(\mathbb{Z}_{7}\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(48,48)\simeq\mathbb{Z}_{2}\times S_{4}$

$(54,6)\simeq(\mathbb{Z}_{9}\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(84,7)\simeq\mathbb{Z}_{2}\times((\mathbb{Z}_{7}\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2})$

$(108,26)\simeq\mathbb{Z}_{2}\times((\mathbb{Z}_{9}\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2})$

$(110,1)\simeq(\mathbb{Z}_{11}\rtimes\mathbb{Z}_{5})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(120,34)\simeq S_{5}$

$(120,36)\simeq S_{3}\times(\mathbb{Z}_{5}\rtimes\mathbb{Z}_{4})$

$(144,182)\simeq((\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{8})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(144,183)\simeq S_{3}\times S_{4}$

$(156,7)\simeq(\mathbb{Z}_{13}\rtimes\mathbb{Z}_{4})\rtimes\mathbb{Z}_{3}$

$(168,43)\simeq((\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{7})\rtimes\mathbb{Z}_{3}$

$(216,90)\simeq(((\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{9})\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(220,7)\simeq\mathbb{Z}_{2}\times((\mathbb{Z}_{11}\rtimes\mathbb{Z}_{5})\rtimes\mathbb{Z}_{2})$

$(240,189)\simeq\mathbb{Z}_{2}\times S_{5}$

$(252,26)\simeq S_{3}\times(\mathbb{Z}_{7}\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(272,50)\simeq\mathbb{Z}_{17}\rtimes\mathbb{Z}_{16}$

$(312,45)\simeq\mathbb{Z}_{2}\times(\mathbb{Z}_{13}\rtimes\mathbb{Z}_{4})\rtimes\mathbb{Z}_{3}$

$(320,1635)\simeq((\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)\rtimes\mathbb{Z}_5)\rtimes\mathbb{Z}_4$

$(324,118)\simeq S_{3}\times(\mathbb{Z}_9\rtimes\mathbb{Z}_3)\rtimes\mathbb{Z}_2)$

$(336,208)\simeq PSL(3,2)\rtimes\mathbb{Z}_2$

$(342,7)\simeq (\mathbb{Z}_{19}\rtimes\mathbb{Z}_{9})\rtimes\mathbb{Z}_2$

$(384,5677)\simeq((((\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{4})\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(384,5678)\simeq((((\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(432,520)\simeq(((\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes Q_{8})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(432,523)\simeq(((\mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{6})\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(432,533)\simeq\mathbb{Z}_{2}\times((((\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2})\rtimes\mathbb{Z}_{9})\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2})$

$(432,734)\simeq(((\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3})\rtimes Q_{8})\rtimes\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(480,1189)\simeq(\mathbb{Z}_{5}\rtimes\mathbb{Z}_{4})\times S_{4}$

$(486,31)\simeq(\mathbb{Z}_{27}\rtimes\mathbb{Z}_{9})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

$(500,18)\simeq(\mathbb{Z}_{25}\rtimes\mathbb{Z}_{5})\rtimes\mathbb{Z}_{4}$

$(506,1)\simeq(\mathbb{Z}_{23}\rtimes\mathbb{Z}_{11})\rtimes\mathbb{Z}_{2}$

Answer 2

Observación: Los comentarios a continuación dicen que el grupo $G$ dado aquí es no un ejemplo, ya que ${\rm Aut}({\rm Aut}(G))$ es isomorfo a ${\rm Aut}(G)$ en lugar de $G$ .

Creo que esto responde a la pregunta para grupos infinitos:

MR0470091 (57 #9858) Collins, Donald J. The automorphism towers of some one-relator groups. Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978), no. 3, 480--493. 20F55

El teorema (ii) establece que si $G=\langle a,b \mid a^{-1}b^ra=b^s \rangle$ es un grupo Baumslag-Solitar con $r-s$ incluso, entonces $Aut(Aut(G))$ es isomorfo a $G$ y $G$ tiene un automorfismo exterior.

Además, cuando $r=1$ , $G$ es el producto semidirecto $\mathbf Z \ltimes \mathbf Z[\frac 1 s]$ donde $\mathbf Z$ actúa multiplicándose por $\frac 1 s$ . Entonces $G$ no tiene torsión, pero $Aut(G)$ tiene un elemento de orden 2 (véase su lema 3). Si $G$ se representa como un grupo de matrices, $(a,b) \mapsto \begin{pmatrix} s^a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ entonces este automorfismo exterior viene dado explícitamente por conjugación por $diag(i,-i)$ donde $i$ es una raíz cuadrada de -1.

Answer 3

He estado investigando esta cuestión en mi tiempo libre junto con el estudio general de grupos finitos de orden pequeño en un intento de comprender mejor su estructura, y he llegado a algunos resultados en esos esfuerzos que no he visto mencionados en este hilo o en los otros similares que he encontrado en este sitio. Había intentado ver si podía demostrar un límite para $|Aut^{(n)}(G)|$ y había pensado utilizar el hecho elemental de que para $|G|=n$ , $Aut(G)$ es un subgrupo de $S_n$ . El único problema es que la forma en que se demuestra ese hecho no se generaliza a la realización de $Aut(G)$ en $S_n$ si se pudiera demostrar que para cualquier subgrupo $H \subset S_n$ que $Aut(H)$ es un subgrupo de $Aut(S_n)$ entonces tendríamos nuestro límite inmediatamente (a saber $|Aut^{(k)}(G)| \leq n!$ ). Edición: Resulta que este límite no es correcto, ya que para $G=$ SmallGroup(16,5), tenemos $|Aut^{(7)}(G)|>16!$ es del orden de ~2 cuatrillones, mientras que 16! es de unos 20 trillones.

Algo que podría ayudar con el cálculo de grupos de automorfismo en general y la comprensión de cómo $Aut^{(k)}(G)$ determina $Aut^{(k+1)}(G)$ es un resultado al que he llegado hace poco y que depende de una idea que me interesa desde hace mucho tiempo. La idea es que algunos elementos de un orden dado en un grupo pueden distinguirse unos de otros por el papel que desempeñan en la estructura del grupo, por ejemplo el único elemento de orden 2 en $D_8$ que conmuta con todos los demás elementos de $D_8$ es muy distinto de los otros 4 elementos de orden 2. El criterio al que he llegado para captar esta idea es que dos elementos de idéntico orden pertenecen a la misma "clase de congruencia estructural" si existe un isomorfismo reticular entre las subredes de todos los subgrupos que contienen al subgrupo cíclico generado por el elemento dado que respete las clases de isomorfismo de los subgrupos en las subredes dadas. Como ejemplo, volviendo a los elementos de orden 2 en $D_8$ los 4 elementos restantes pertenecen a la misma clase de congruencia estructural, son todos miembros de exactamente 1 subgrupo de Klein cuatro que es un subgrupo de todos los de $D_8$ sin embargo, hay una sutileza adicional aquí, los 4 elementos de orden 2 pueden ser emparejados por el subgrupo de Klein cuatro al que pertenecen (hay dos subgrupos de Klein cuatro de $D_8$ (una se genera por los giros vertical y horizontal, la otra por los giros diagonales). Combinando esta idea con una observación sobre los subgrupos cíclicos y los conjuntos generadores se obtuvo un resultado muy interesante. La observación es que se puede determinar fácilmente el tamaño mínimo de un conjunto generador (y qué conjuntos funcionarán) analizando la red completa de subgrupos. La cuestión es que el subgrupo generado por dos elementos dados es exactamente la unión de los subgrupos cíclicos que generan en el entramado completo de subgrupos, por lo que en un grupo generado por 2, se podrá encontrar un par de grupos cíclicos cuya unión sea el grupo entero. En un grupo generado por 3, eso no ocurre, pero bastará con un conjunto de 3 subgrupos cíclicos, etc. También se puede enumerar fácilmente la lista completa de conjuntos generadores de tamaño mínimo de esta manera (y, de hecho, normalmente se puede utilizar la combinatoria para contar rápidamente las posibilidades una vez que se encuentran algunos conjuntos generadores de tamaño mínimo). Armado con una lista completa de conjuntos generadores de tamaño mínimo, puede utilizar el hecho de que la acción de cualquier automorfismo está determinada por su acción sobre un conjunto generador, y que el mapa generador a generadores para determinar el tamaño del grupo de automorfismo. Sólo se puede mapear un conjunto generador dado a uno en el que los elementos sean de las mismas clases que los del conjunto generador con el que se empieza. Volviendo a $D_8$ vemos que los conjuntos generadores son los que contienen un elemento de orden 4 y uno de los 4 elementos de orden 2 no generados por los elementos de orden 4, así como pares de elementos de orden 2 que no conmutan (sólo hay 4 pares de este tipo, ya que los elementos de orden 2 no generados por los elementos de orden 4 se emparejan en función de su pertenencia a subgrupos de Klein cuatro y, por tanto, conmutan entre sí, pero no con todo el grupo). Se trata de dos "clases" diferentes de conjuntos generadores. Uno de tamaño 4 y otro de tamaño 8. En la clase más pequeña, no sólo se puede enviar el conjunto generador dado a cualquiera de los otros, sino que también se puede intercambiar qué generador es cuál, lo que da 8 automorfismos posibles. Se pueden obtener estos mismos automorfismos determinando dónde enviar en su lugar un conjunto generador formado por un elemento de orden 4 y otro de orden 2. Este procedimiento funciona en general (no es terriblemente difícil de demostrar, aunque precisar la definición exacta de "clase de congruencia estructural" puede ser complicado (observe en $D_8$ cómo la clase con 4 elementos de orden 2 se dividía a su vez en dos "subclases" basadas en los pares según si conmutaban o no entre sí).

Como observaciones finales, he utilizado GAP para calcular $Aut^{(n)}(G)$ para todos los grupos $G$ de orden inferior a 32 hasta el mayor $n$ que GAP computaría en un tiempo razonable (normalmente sólo 4-5 pasos o hasta la estabilización). Los grupos para los que aún no he demostrado la estabilización definitivamente sufren una explosión combinatoria grave. Por ejemplo, el grupo $G=SmallGroup(16,3)$ tiene $Aut(G) \simeq SmallGroup(32,27)$

$Aut^{(2)}(G) \simeq SmallGroup(384,20100)$

$Aut^{(3)}(G) \simeq $ un grupo de orden 2304 con 8 generadores

$Aut^{(4)}(G) \simeq $ un grupo de orden 110592 con 7 generadores Este último grupo tardó unos 15 segundos en ser construido por GAP. Pedirle que diera una descripción de la estructura le llevó más de 10 minutos y necesitó casi 2 GB de RAM (¡!). Si le pedimos que encuentre $Aut^{(5)}(G)$ no tuvo éxito ni siquiera después de 5 horas de cálculo y utilizando de nuevo casi 2 GB de RAM (creando $Aut^{(4)}(G)$ sólo ocupó unos 150 MB, aunque la descripción de la estructura ocupó MUCHO más).

Acabo de terminar la informática $Aut^{(4)}(G)$ para SmallGroup(16,5), que tardó cerca de una hora, aunque el grupo es sólo de orden 1536 (sin duda la complejidad estructural de los grupos con una potencia prima alta en su orden tuvo algo que ver con eso, también tomó cerca de 600MB de RAM para hacerlo), y ni siquiera he pedido una descripción de la estructura.