Cómo hacer esta integral $\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-x^{2}}\cos\left(\,kx\,\right)\,{\rm d}x$

Question

Cómo hacer esta integral

$$\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-x^{2}}\cos\left(\,kx\,\right)\,{\rm d}x$$

para cualquier $k > 0$ ?.

He intentado utilizar la función gamma, pero a veces la serie no converge.

Answer 1

Suponemos que $$F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos kxdx$$ Considere $F'(k)$ tenemos $$F'(k)=\int_{-\infty}^{\infty}-xe^{-x^2}\sin kxdx$$ $$=\frac{1}{2}(e^{-x^2}\sin kx|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}ke^{-x^2}\cos kxdx)$$ $$=-\frac{1}{2}kF(k)$$ A continuación, resolvemos la ecuación diferencial ordinaria con $F(0)=\sqrt\pi$ y obtenemos $$F(k)=\sqrt\pi e^{\frac{-k^2}{4}}$$

Answer 2

La integral es igual a $\sqrt{\pi}e^{-k^2/4}$ . Para demostrarlo, basta con considerar que: $$ I =\Re\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx-x^2}\,dx = e^{-k^2/4}\cdot \Re\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-ik/2)^2}\,dx $$ y demostrar que el desplazamiento complejo no afecta al valor de la integral: $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-ik/2)^2}\,dx = \int_{-\infty-ik/2}^{+\infty-ik/2}e^{-x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$$ Esto sucede porque $e^{-z^2}$ es una función entera cuyo valor absoluto cuando $|\Re(z)|\to +\infty$ et $\Im(z)$ permanece acotado va a cero muy rápido.

Answer 3

Escriba a $$\cos kx = \frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}.$$ Utilizando la identidad que para $a>0$ et $b\in\mathbb{R}$ , $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+ibx}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{b^2}{4a}},$$ que se pueden obtener completando cuadrados, encontramos para $a=1$ et $b=k$ que $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cos kx dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} \frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2} dx=\sqrt{\pi}e^{-\frac{k^2}{4}}.$$