Sobre las preguntas "por qué" en matemáticas

Question

En respuesta a la pregunta ¿Cómo se podría demostrar matemáticamente que $1+1 = 2$ ? explica Asaf Karagila:

En un contexto más general, hay que recordar que $0,1,2,3,…$ son sólo símbolos. Carecen de significado hasta que se lo damos, y cuando escribimos $1$ solemos pensar en la identidad multiplicativa. Sin embargo, como escribí en la primera parte, esto suele depender de los axiomas, nuestras "reglas básicas".

...

Por eso, la pregunta "¿Por qué $1+1=2$ ?" carece prácticamente de sentido, ya que no se dispone de un marco formal y la interpretación (aunque se supone que es la natural) está mal definida.

Preguntas:

1. ¿En qué medida todas las preguntas "por qué en matemáticas que son "casi sin sentido"?
2. ¿Es diferente la respuesta a la pregunta nº 1 en función de los hechos sobre los que se pregunta "por qué"? -- ¿hay ciertos tipos de afirmaciones que pueden tener un " porque "y otros que no? Por ejemplo, ¿existe una diferencia fundamental en nuestra capacidad para plantear y responder preguntas de "por qué" entre afirmaciones definidas inmediatamente como verdaderas y las que se deducen de otras cosas?

Answer 1

Creo que no es cierto en absoluto que todas las preguntas "por qué" en matemáticas carezcan prácticamente de sentido.

Lo que Asaf describe es que no tiene sentido preguntarse "¿Por qué? $A$ sostiene" si ni siquiera ha definido los símbolos / términos que aparecen en $A$ y si no ha fijado una lógica subyacente, es decir, reglas de inferencia y axiomas.

Si lo ha hecho, entonces está perfectamente bien preguntarse "¿Por qué $A$ hold", lo que podría significar que pides (entre otras cosas):

1. literalmente una prueba de $A$
2. un esbozo de prueba de $A$
3. una propiedad clave utilizada en una prueba de $A$ que tienen los objetos en cuestión, que no tienen otros objetos ("¿Por qué los reales forman un campo pero los reales $2\times 2$ matrices no?")

Las preguntas en matemáticas no tienen por qué ser siempre ultraprecisas, al fin y al cabo las matemáticas las siguen haciendo las personas.

Answer 2

En un sentido absolutamente formal, cualquier pregunta "por qué" en matemáticas requiere un sistema de axiomas. Pero la mayoría de las pruebas no son absolutamente formales.

Cuando se trata de pruebas en el nivel más bajo, realmente se necesita conocer el sistema de axiomas que se está utilizando para saber cómo demostrar algo. Puede ser simplemente la definición de $2$ que $2=1+1$ . Así que no tiene sentido preguntar cómo demostrarlo sin conocer el sistema de axiomas.

Por otro lado, hay muchos sistemas axiomáticos equivalentes para la teoría de números. Y a menudo, cuando pedimos una demostración de un teorema de nivel superior, puede que no te importe qué sistema de axiomas utilizas. Se hace referencia a enunciados que se sabe que son verdaderos en todos los sistemas de axiomas equivalentes, y no se está realmente preocupado por lo que es un axioma y lo que se demuestra.

Sin embargo, si te pidieran que escribieras una explicación 100% formal del "¿por qué?" de cualquier teorema, necesitarías conocer la sintaxis y los axiomas en uso.

Pero rara vez queremos pruebas formales al 100%.

Considérelo la diferencia entre "Describir un algoritmo para calcular $X$ " y "Escribe un programa de ordenador para calcular $X$ ." El programa informático depende de la máquina y del lenguaje. El algoritmo es una idea más general, que simplemente supone a grandes rasgos que determinados tipos de cálculo pueden realizarse en la máquina.

Answer 3

Para ampliar la respuesta de Stefan Perko, he aquí tres "w

1. ¿Por qué Torema de Langrange ¿Verdad? Es decir, si $G$ es un grupo finito y $x$ es un elemento de $G$ ¿Por qué el orden de $x$ dividir el orden de $G$ ?

2. ¿Por qué las "pruebas elementales" de la teorema del número primo mucho más difíciles que las pruebas que utilizan análisis complejos?

3. ¿Por qué Conjetura de Goldbach ¿no se ha demostrado?

Para responder, 1 podemos dar una prueba bien conocida. Para responder a 2, tendríamos que hacer algo de metateoría y comparar pruebas conocidas. Para responder a la 3, tendríamos que encontrar alguna forma de razonar sobre nuestras capacidades para encontrar pruebas o contraejemplos.