$f=2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+bx+c$ tiene todas las raíces reales, hallar b,c (b,c son de R). Muchas gracias, he intentado con la sustitución, no sé, ¿hay algo con la derivada? por favor ayuda gracias
Respuestas
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Sea $g(x)=2x^4+4x^3+3x^2$ . Entonces $g''(z)=24x^2+24x+6=6(2x+1)^2\geq0$ . Así que $g$ es convexa, y se cruzará con una línea como máximo dos veces. Para que $f(x)$ para tener sólo raíces reales, la línea $y=-bx-c$ tendrá que ser tangente a la gráfica de $g$ . Pero la tangente no intersecará la gráfica en un segundo punto, por lo que si $f$ tiene $4$ ceros reales, debe tener un cero cuádruple, es decir $f$ y sus tres primeras derivadas deben desaparecer en algún punto.
El cálculo anterior muestra que este punto debe ser $x=-\frac12$ y debemos tener $$f(x)=2\left(x+\frac12\right)^4.$$
No lo he llevado más allá de este punto. Te lo dejo a ti.
Olivier Roche
Puntos
1
$f$ tiene $4$ raíces reales (no necesariamente distintas), digamos $r, s, t, u$ . H $f$ se puede factorizar de esta manera : $f = 2 (x-r) (x -s) (x-t) (x - u)$ . Si desarrollas esta expresión, y comparas término por término, obtendrás que las raíces satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones ( editado 4 ecuaciones, como señala @saulspatz) : $$\left\{ \begin{array}{ccl} c & = & 2 rstu \\ b & = & -2(rst + rsu + rtu + stu) \\ 3 & = & 2 (rs + rt + ru + st + su + tu) \\ 4 & = & -2(r + s + t + u) \end{array}\right. $$
De acuerdo, esto parece feo, pero sólo las dos últimas líneas representan una restricción. por ejemplo, tomar $r = s = t = u = \frac{-1}{2}$ esto satisface las dos últimas líneas y por lo tanto se obtiene una solución donde $b = 1$ et $c = \frac{1}{8}$ .
Aderinsola Joshua
Puntos
30
$f(x) = 2x^4+4x^3+3x^2+bx+c$
Si $f(x)$ tiene todos $4$ raíces para ser real y complejo, entonces es discriminar $$\Delta = (-72)b^2+176b^3-108b^4-864c-2304bc+1536b^2c+2304c^2-3072bc^2+2048c^3$$ debe ser real, $\Delta > 0$ También si divides $f(x)$ por 2, y hacer una traducción $x = y-\frac{1}{2}$
$2x^4+4x^3+3x^2+bx+c = 0$
$x^4+2x^3+\frac{3/2}x^2+\frac{b/2}x+\frac{c/2} = 0$
Diga $x = y-\frac{1}{2}$
La ecuación se deprime que de repente parecen ser
$y^4+(\frac{b}{2}-\frac{1}{2})y+\frac{c}{2}-\frac{b}{4}+\frac{3}{16} = 0$
Obsérvese que el $y^2$ desaparece automáticamente
Definido $D = 512c-256b+192$
Por lo tanto, para que el polinomio tenga una raíz real distinta $D < 0$ et $\Delta > 0$
