Si $a,b,c\in{1,2,3,4,5}$ , hallar la probabilidad de que $2^a+3^b+5^c$ es divisible por 4.
Para que un número sea divisible por $4$ los dos últimos dígitos tienen que ser divisibles por $4$
$5^c= \_~\_25$ si $c>1$
$3^1=3,~3^2=9,~3^3=27,~3^4=81,~ 3^5=243$
$2^1=2,~2^2=4,~2^3=8,~2^4=16,~2^5=32$
¿Debo añadir todas las posibilidades? ¿Existe un método más sencillo?
Observe que $$2^a+3^b+5^c \equiv 2^a+(-1)^b+1 \pmod{4}$$
Así que para que esto sea $0 \pmod 4$ tenemos los siguientes escenarios
El número de tres tuplas $(a,b,c)$ que satisfacen el primer caso = $(4)(3)(5)=60$ y el número de tres tuplas $(a,b,c)$ que satisfacen el segundo caso = $(1)(2)(5)=10.$
La probabilidad es $\frac{70}{125}$ .
Consideremos los restos al dividir por $4$ . Si $a=1$ puis $2^a=2$ tiene el resto $2$ . Por lo demás, $2^a$ tiene el resto cero. Si $b$ es impar entonces $3^b$ tiene un remanente $3$ pero si $b$ es incluso $3^b$ tiene un remanente $1$ . Lo que sea $c$ es, $5^c$ tendrá un remanente $1$ . (Todas estas afirmaciones son demostrables por inducción, pero los patrones son obvios).
Entonces sólo hay dos formas básicas de que la suma tenga resto cero cuando se divide por $4$ :
Caso 1: $a=1$ , $b$ está en paz, $c$ es cualquier cosa. Esto da restos $2+1+1$ o cero.
Caso 2: $a>1$ , $b$ es impar, $c$ es cualquier cosa. Esto da restos $0+3+1$ o cero.
Ahora cuenta cada caso y suma los recuentos.
Para el caso 1, obtuve $\frac{2^a+3^b+5^c}{4}=k+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ que no es un número entero.
@AdityaDev: No entiendo. Ya que dices el caso 1, $a=1$ pero qué valores de $b$ y $c$ ¿está usted usando aquí? Y como estás dividiendo por $4$ no es posible obtener un valor de $\frac 15$ . Si te refieres a $a=1,b=2,c=1$ , entonces se obtiene $2^1+3^2+5^1=16$ que es divisible por $4$ . En el ejemplo de tu comentario, creo que el último valor debería ser $\frac 14$ y sumando esas fracciones se obtiene $k+1$ , que es un número entero.
$2^{\color\red{a}}+3^\color\green{b}+5^\color\magenta{c}\equiv0\pmod4\iff$
Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{\color\red1\cdot\color\green2\cdot\color\magenta5+(5-\color\red1)\cdot(5-\color\green2)\cdot\color\magenta5}{5\cdot5\cdot5}=\dfrac{14}{25}$
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Buen problema.........+1. ¿tienes más problemas de este tipo?
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Eso depende de la distribución de $a$ , $b$ y $c$ . Hay distribuciones que hacen que la probabilidad sea cualquier cosa (entre $0$ y $1$ inclusive).
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Este problema exige principalmente un enfoque sistemático con el recuento y el trabajo de casos posterior.