Factor $x^4+x^2+1$ en $Q[x]$ . No sé muy bien cómo hacerlo. ¿Existe alguna forma de resolver este problema en el contexto del álgebra moderna, aparte de utilizar el álgebra básica y completar el cuadrado?
Respuesta
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M47145
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Generalmente, al factorizar un polinomio se intenta reducir al máximo el número de factores potenciales que hay que considerar. Se utilizan varios métodos y trucos para eliminar posibilidades, algunos de los cuales se han mencionado en los comentarios. Una solución de fuerza bruta se evita en la medida de lo posible, y se utiliza sólo después de haber eliminado tantos tipos de factores como sea posible.
En su caso concreto podemos razonar de la siguiente manera: por la prueba de la raíz racional vemos que sólo $\pm 1$ son posibles raíces. Tras comprobar que ninguna de ellas es realmente una raíz, sabemos que si $ x^4+x^2+1$ es reducible, entonces sus factores deben ser polinomios de segundo grado, es decir. $$x^4+x^2+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Por el lema de Gauss sólo necesitamos valores enteros de prueba para $a,b,c,d$ . Ahora podemos ver que $bd=1$ así que tenemos que $b=d=1$ o $b=d=-1$ . Dado que el coeficiente de $x^3$ debe ser cero en el producto, tenemos que $a+c=0$ . Dado que el coeficiente de $x$ también debe ser $0$ tenemos que $ad+bc=0$ . Estas restricciones limitan nuestras opciones para los factores que deben tenerse en cuenta. Una primera opción obvia sería $a=1, c=-1$ y $b=d=1$ que satisfacen estas restricciones, por lo que son una solución candidata. Probándolas vemos que sí, la ecuación se satisface $$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$
