¿Es $2 + 2 + 2 + 2 + ... = -\frac12$ o $-1$?

Question

Utilizando la función zeta de regularización, la divergencia de la serie de $1+1+1+1+...$ puede ser evaluado para rendir $$1+1+1+1+1+...=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n^0}=\zeta(0)=-\frac12.$$

Pero, ¿qué es $2+2+2+2+...$, entonces? Por un lado, debe ser dos veces como mucho, pero en el otro lado de cada$2=1+1$, por lo que también podría ser $-\frac12$ nuevo. Mi sensación es que factorizando los $2$ de este divergentes de la serie es formalmente "menos" de lo válido de la expansión de los dos en sumas de, pero es la sensatez de no-ambigua respuesta?

Answer 1

ans: $-1$

Cualquier método de sumatoria lineal debe tener $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nk=k\sum_{n=0}^{\infty}a_n$.

Un método regular suma estable lineal no tendrá que dar la misma respuesta cuando se reescribe $2$ $1+1$ para infinitamente muchos del $2$s, teniendo en cuenta que infinitamente permutando términos en serie divergente puede alterar la suma, y que % en $1+2+4+8+...=-1$, ajuste $2=1+1, 4=1+1+1+1$ etc. haría la suma $-\frac{1}{2}$.

Answer 2

Su notación es ambigua. $1+1+1+1+1+...$ puede significar o $\sum_{n\ge0}1$ o $\sum_{n\ge1}1$. Son iguales, respectivamente,

$$\sum_{n\ge0}1=\omega_+$$

$$\sum_{n\ge1}1=\omega_-=\omega_+-1$$

Las partes estándar (que corresponden a importes regularizados y sumación de Ramanujan) son

$$\operatorname{st}\omega_+=\zeta(0,0)=1/2$$ $$\operatorname{st}\omega_-=\zeta(0,1)=-1/2$$

La notación $2+2+2+2+2+...$ también es ambiguo.

$$\sum_{n\ge0}2=2\omega_+$$

$$\sum_{n\ge1}2=2\omega_-$$

Las partes estándar son

$$\operatorname{st} (2\omega_+)=1$$ $$\operatorname{st} (2\omega_-)=-1$$