Expresión de forma cerrada para un producto infnito

Question

Estoy interesado en una expresión de forma cerrada para el límite de la secuencia $(a_n)$ donde \begin{equation} a_n = \prod_{k=1}^n (1 - \tfrac{c}{k}) \end{equation}

donde $c$ no es igual a $1$ y es positivo. Según Wolfram Alpha, la suma $\sum_{i=1}^\infty \log(1 - c/n)$ diverge para todo $c \neq 0$ lo que parece implicar que el producto no converge a un real distinto de cero. Pero he hecho un par de pruebas en Matlab y el producto parece converger para casi todos los valores de $c$ que probé. ¿Alguna idea sobre cómo abordar este problema?

Answer 1

Un planteamiento que podría hacerse riguroso es el siguiente: Obsérvese que $\log(1-x)\simeq -x$ para pequeños positivos $x$ . Se obtiene una serie armónica (a partir de su suma de logaritmos) que diverge a $-\infty$ y luego $e^{-\infty} = 0$ por supuesto. Así que su secuencia converge a $0$ para cada $c$ .

Answer 2

El equivalente de $a_n$ para $n$ tendiendo a infinito es $$\frac{1}{n^c\Gamma(1-c)}$$