Lógica de primer orden: $T \nvDash ^t a \iff$ existe una estructura s.t que $T \cup$ { $\lnot$ a} es válida en esa estructura

Question

Pregunta: Demostrar o refutar (en lógica de primer orden) dado que a es una fórmula, $T$ es un conjunto de fórmulas: $T \nvDash ^t a \iff$ existe una estructura s.t. que $T \cup \{\neg a\}$ es válido en esa estructura.

Ensayos: He probado con éxito la $\Leftarrow$ lado de la prueba, pero siento que no tengo suficiente información para demostrar el otro lado, lo que me lleva a buscar un contraejemplo. Me preguntaba si el contraejemplo debería s.t. $T$ es el conjunto vacío (por lo que toda estructura $M$ la satisfará) y a debería ser alguna contradicción?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Para $\Rightarrow$ es válido para frases es decir, formuale cerrado.

Como contraejemplo, considere que $T⊭a$ significa que, para algunos estructura $M$ y asignación de variables $v$ :

$M,v \vDash T$ y $M,v \nvDash a$ .

Suponemos que una fórmula $a$ es válido en una estructura $M$ si $M,v \vDash a$ para cualquier $v$ .

Así pues, considere como $T$ los axiomas de Peano para aritmética y considerar como $a$ el fórmula : $x=0$ .

Entonces $T \nvDash (x=0)$ porque con un $v$ tal que $v(x)=1$ tenemos que $M,v \nvDash (x=0)$ para cualquier estructura $M$ que satisfaga $T$ .

Pero para $M$ , $T \cup \{ \lnot (x = 0) \}$ no es válido porque para $v'$ tal que $v'(x)=0$ tenemos $M, v' \nvDash \lnot (x=0)$ .