Sea $f$ sea continua en los números reales. Sea $c$ sea un número real con $f(x)=c$ para todos $x$ en $\mathbb{Q}$ . Demuestre que $f(x)=c$ en $\mathbb{R}$ .

Question

¿Puede alguien resolver esta pregunta?

Sea $f$ sea continua en $\mathbb{R}$ . Sea $c$ sea un número real con $f(x)=c$ para todos $x$ en $\mathbb{Q}$ . Demuestre que $f(x)=c$ para todos $x$ en $\mathbb{R}$ .

gracias

Answer 1

Podrías verlo con secuencias, pero en realidad hay una forma más limpia (pero más abstracta) de verlo.

Desde $f$ es continua y $\{c\}$ está cerrado, $f^{-1}(c)$ es un conjunto cerrado. Pero ese conjunto cerrado contiene $\Bbb Q$ . Por lo tanto... (¿qué se puede decir del cierre de un subconjunto denso de $\Bbb R$ ?)

Answer 2

Sugerencia: utilice límites, la densidad de $\Bbb Q$ y el hecho de que $f$ es continua.

Answer 3

Sea $x\in \mathbb R$ . Recordemos un hecho muy básico: Si $f$ es continua, y $p_n\to x$ entonces $f(p_n)\to f(x)$ .

Ahora, ¿puede explicar por qué se puede encontrar una secuencia de números racionales $(p_n)$ tal que $p_n \to x$ ?

Con tal secuencia, exprese $f(x)$ como $\lim_{n\to \infty} f(p_n) $ . ¿Qué sabe sobre $f(p_n)$ ? ¿Qué te dice eso sobre el límite que acabas de escribir? Entonces, ¿cuál es el valor $f(x)$ ?

Answer 4

Para cualquier $x\in\Bbb R$ puede encontrar $\left(x_n\right)_{n\in \Bbb N} \in \Bbb Q ^\Bbb N$ para que $x_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}x$

El hecho de que $f$ es continua te dice que $f$ y $\lim\limits_{n\to+\infty}$ conmutan, es decir $f\left(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}f\left(x_n\right)$

Así es: $f(x)=f\left(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}f\left(x_n\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}c=c$