¿La fdp conjunta del máximo y la media muestrales para una distribución uniforme?

Question

Supongamos que $$\{X_i\}\stackrel{\mathrm{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{Uniform}(0,1)$$ Hallar la f.d.p. conjunta de $$X_{(n)} \hat= \max \{X_1,X_2,\ldots,X_5\}\quad\text{ and }\quad \bar X\hat=\sum^n_{i=1}{X_i}$$

En motivación de esta pregunta: Si una línea de longitud 1 se divide al azar en cinco partes, calcular la probabilidad de que exista una parte con longitud superior a 1/4, es decir, encontrar $\Pr\{X_{(n)}\ge \frac{5\bar X}{4} \}$ con la configuración anterior.

Answer 1

$X_1, \dotsc,X_n$ es iid a partir de la distribución uniforme en $[0,1]$ . El máximo es $X_{(n)}$ que tiene una distribución con densidad $f(u)=n u^{n-1}$ . Representar la densidad conjunta de la media y el máximo como $f(m, u)=f(m \mid u) f(u)$ donde $f(m \mid u)$ representa la densidad condicional de la media dado el máximo.

Estadísticas de pedidos $X_{(1)},\dotsc, X_{(n-1)}$ condicionado al máximo se comporta como un estadístico de orden de una muestra iid de tamaño $n-1$ de la distribución uniforme en $[0,u]$ por lo que podemos usar eso y la representación de la media como $$ \bar{X}_n = \frac{u}{n}+ \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1} $$ cuando el máximo $u$ se da. A continuación, la distribución de $\bar{X}_{n-1}$ es una versión a escala del Distribución Irwin-Hall Véase también ¿Podemos generalizar la distribución Irwin-Hall? . Voy a dejarlo así, usted debe ser capaz de completar.