Para una entrada $x$ y salida $y$ de un sistema se sabe que $x,y$ satisfacer siempre
$$ F(x,y) = 10 $$
En cierto punto, $x=1$ y $y=1$ . La cuestión es cómo $y$ responde a una pequeña disminución de $x$ por ejemplo, a $ 0.999$ (es decir, qué es $y'(x)$ de la función $y(x)$ cerca de $x=1$ .
Ahora bien, esto de alguna manera pide una aplicación del Teorema de la Función Implícita, de un Polinomio de Taylor, o de ambos.
Intuitivamente, como $F(x,y) = 10$ ¿no puedo concluir simplemente que cada disminución de $x$ tiene que compensarse con un cambio en $\Delta y =-x$ con el fin de mantener $F(x,y)$ ¿otra vez constante? Sin embargo, desde el punto de vista económico, una disminución de los insumos que dé lugar a un aumento de la producción suena un poco raro.
Así que he vuelto a resumir lo que sé:
$$F(1,1) = 10 $$
$$ F(0.999, 1 + y'(1)) = 10 $$
$$ y'(1) = - \frac{\frac{\partial{F}}{x}(1,1)}{\frac{\partial{F}}{y}(1,1)} $$
Pero ahí estoy atascado - cómo resolver cuando ambos $F$ y $y$ ¿son desconocidos?
Gracias por todas las sugerencias.
