Demuestra que si $AB$ es invertible entonces $B$ es invertible.

Question

Sé que esta prueba es corta pero un poco difícil. Así que supongo que $AB$ es invertible entonces $(AB)^{-1}$ existe. También sabemos $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ . Si dejamos $C=(B^{-1}A^{-1}A)$ entonces por el teorema de la matriz invertible vemos que desde $CA=I$ (izquierda inversa) entonces $B$ es invertible. ¿Esto sería correcto?

Edita Supongamos que $AB$ es invertible. Existe una matriz llamada $X$ de tal manera que $XAB=I$ . Deje que $C=XA$ Luego $CB=I$ y se deduce que $B$ es invertible por el teorema de la matriz invertible.

Answer 1

$\;AB\;$ invertible $\;\implies \exists\;C\;$ s.t. $\;C(AB)=I\;$ pero utilizando la asociatividad de la multiplicación de matrices:

$$I=C(AB)=(CA)B\implies B\;\;\text{is invertible and}\;\;CA=B^{-1}$$

Answer 2

Un argumento más básico, basado en la invertibilidad $\iff$ no singulares, es la siguiente. Si $B$ fueran singulares, habría $x\ne 0$ con $Bx=0$ Por lo tanto, con $(AB)x=0$ De ahí que $AB$ es igualmente singular.

Answer 3

¿Tienes el teorema de que $X$ es invertible si y sólo si $\det X \neq 0$ ?

Si es así, entonces si $AB$ es invertible, $\det AB\ne 0$ . Pero $\det AB = \det A\cdot \det B \ne 0$ Así que ambos $\det A$ y $\det B$ son distintos de cero, y por lo tanto ambos $A$ y $B$ son invertibles.

Answer 4

Agradeciendo a Ted Shifrin reviso completamente mi respuesta.

Quiere demostrar que $B$ es invertible utilizando únicamente las propiedades de semigrupo de las matrices (es decir, multiplicación, asociatividad y existencia de la unidad $I$ ).

Usted había demostrado que $B$ tiene un inverso a la izquierda, $CB=I$ . Ahora debería demostrar que hay un inverso correcto, $BD=I$ . Sin embargo, no es cierto en los semigrupos, en general. Un ejemplo: el llamado monoide bicíclico $S=\langle a,b| ab=1\rangle$ (es generado por $a,b$ con la relación definitoria $ab=1$ ). En $S$ el producto $ab$ es invertible (ya que es igual a $1$ ), $b$ tiene la inversa de la izquierda $a$ pero no tiene un inverso correcto.

onclusión: Para demostrar lo que se quiere, no basta con utilizar las propiedades de los semigrupos. Hay que usar determinantes o vectores (o algo más).

Answer 5

Esto puede ser más fácil de hacer pensando en $A$ y $B$ como operadores lineales y no por aritmética matricial. Supongamos que $AB$ es invertible y se supone que $B$ no lo es. Por lo tanto, $B$ o bien no es inyectiva, o bien no es sobreyectiva. Si $B$ no es inyectiva, entonces hay $x,y$ con $x \neq y$ tal que $Bx=By$ y por lo tanto $ABx=ABy$ y $AB$ no es inyectiva, lo cual es una contradicción. Ahora, supongamos que $B$ no es sobreyectiva. Por lo tanto, su imagen debe tener una dimensión estrictamente menor que la dimensión de su dominio. (Aquí es donde asumimos $A,B$ son cuadrados). Así, la composición $AB$ debe tener una imagen de dimensión estrictamente menor que la dimensión del dominio de $B$ y, por tanto, no puede ser suryectiva, otra contradicción. Por lo tanto, $B$ es inyectiva y suryente y, por tanto, invertible.