Las relaciones de contigüidad de Gauss proporcionan una base para encontrar una relación lineal entre tres funciones de la forma ${}_2F_1(a+k, b+l, c+m, z)$ en adelante $\mathbf{F}\left(\begin{matrix}a+k, b+l \\ c+m\end{matrix}\right)$ . Se han publicado varios artículos sobre el cálculo de estas relaciones; yo utilizo la notación del artículo de Vidunas Relaciones contiguas de series hipergeométricas :
$$\textbf{F}\left(\begin{matrix}a+k, b+l \\ c+m\end{matrix}\right) = \textbf{P}(k,l,m) \textbf{F}\left(\begin{matrix}a, b \\ c\end{matrix}\right) + \textbf{Q}(k,l,m) \textbf{F}\left(\begin{matrix}a+1, b \\ c\end{matrix}\right)$$
Vidunas recomienda encontrar los coeficientes encadenando primero $k$ con su fórmula (9), pero un enfoque ingenuo se topa con problemas de bootstrap (como descubrí al probarlo). Una vez que $\textrm{Q}(2,0,0)$ se encuentra, creo que el enfoque funciona, pero aquí tenemos cambios tan pequeños que podemos hacer directamente.
Reformulando sus (2), (3), (4) en términos de $\textbf{Q}$ obtenemos
$$\mathbf{Q}(k+1,l,m) = \tfrac{(2a+2k-c-m+(b+l-a-k)z)}{(a+k)(1-z)}\mathbf{Q}(k,l,m) + \tfrac{(c+m-a-k)}{(a+k)(1-z)}\mathbf{Q}(k-1,l,m)$$ $$\mathbf{Q}(k,l,m-1) = \tfrac{a+k}{c+m-1} \mathbf{Q}(k+1,l,m) + \tfrac{c+m-a-k-1}{c+m-1} \mathbf{Q}(k,l,m)$$ $$\mathbf{Q}(k,l+1,m) = \tfrac{a+k}{b+l} \mathbf{Q}(k+1,l,m) + \tfrac{b+l-a-k}{b+l}\mathbf{Q}(k,l,m)$$
y por aplicación repetida de estos calculo que
$$\mathbf{Q}(0,2,-1) = a \tfrac{(a+b-c+1)(a+b-c+2) + (c-a-1)(2a+b-c+1)(1-z) + (b-a+1)(c-a-1)(1-z)^2}{(c-1)b(b+1)(1-z)^2} \\ $$
$$\mathbf{P}(0,2,-1) = (c-a-1) \tfrac{a(a+b-c+2) + a(-2a+b+c-1)(1-z) + (b-a)(b-a+1)(1-z)^2}{(c-1)b(b+1)(1-z)^2}$$
Sustitución de sus parámetros $a=\tfrac12$ , $b=2t$ , $c=1-t$ , $z=4$ Obtengo respectivamente $0$ y $1$ que establece la periodicidad de su $f$ .
Para buscar sistemáticamente funciones hipergeométricas de escala periódica, propongo el siguiente enfoque:
- Elige $k$ , $l$ , $m \in \mathbb{Z}$ (teniendo en cuenta las simetrías en aras de la eficacia).
- Compute $\mathbf{Q}(k,l,m)$ y $\mathbf{P}(k,l,m)$ .
- Sustituir $a = a_0 + kt$ , $b = b_0 + lt$ , $c = c_0 + mt$ en $\mathbf{P}(k,l,m) = A$ y $\mathbf{Q}(k,l,m) = 0$ . Igualar los coeficientes de $t$ en cada uno para obtener una colección de restricciones polinómicas sobre $a_0,b_0,c_0,z,A$ . Utiliza bases de Gröbner u otras técnicas para resolver estas restricciones.
Por poner el ejemplo obvio de $k=0$ , $l=2$ , $m=-1$ y (para simplificar) aplicando la sustitución $x = 1-z$ , $\textbf{Q}(0,2,-1) = 0$ da
$$ a_0 (9-3x-2x^2) = 0 \\ 6a_0+6b_0-6c_0+9+(-5a_0-b_0+4c_0-4)x+(-a_0-b_0+2c_0-3)x^2 = 0 \\ (a_0+b_0-c_0+1)(a_0+b_0-c_0+2) + (-a_0+c_0-1)(2a_0+b_0-c_0+1)x + (-a_0+b_0+1)(-a_0+c_0-1)x^2 = 0 $$
Ignorar lo trivial $a_0 = 0$ vemos que $x \in \{-3, \tfrac32\}$ .
Caso $x=-3$
$a_0 = \tfrac12$ sale de la siguiente restricción, dejando que la restricción final se reduzca a $(b_0+2c_0-3)(b_0+2c_0-2) = 0$ . Si $b_0+2c_0-2 = 0$ entonces vamos a recuperar su $f$ así que considere en su lugar $b_0+2c_0-3 = 0$ . Esto resulta no tener solución: sustituyendo en $\mathbf{P}$ y expandiendo obtenemos una contradicción en los coeficientes de $t^0$ .
Caso $x = \tfrac32$
Comparación de los coeficientes de $t^3$ en $\mathbf{P}$ da $A = 1$ ; s $t^2$ en $\mathbf{P}$ da $a_0 = 0$ por lo que no hay solución no trivial.
Por lo tanto, retiro mi alegre afirmación en un comentario anterior de que la pregunta (2) se responde fácilmente de forma afirmativa; sigue siendo plausible, pero con mayores desplazamientos vamos a tener más coeficientes de $t$ imponer restricciones a un número fijo de variables, por lo que es posible que no haya muchos conjuntos de desplazamientos que admitan soluciones.
