Teorema de descomposición de De Rham, generalizaciones y buenas referencias

Question

El teorema de descomposición de De Rham afirma que toda variedad riemanniana simplemente conectada $M$ que admite subconjuntos complementarios $T'(M)$ y $T''(M)$ de su haz tangente paralelo respecto a la conexión levi-Chevita es isométrico al producto directo de dos variedades riemannianas $M'\times M''$ .

Pregunta 1. En primer lugar me gustaría tener una buena referencia para un borrar "moderno" y completa prueba de este teorema, si es que existe (más reciente que la de Kobayshi-Nomizu pp. 187-193) (Nótese que Besse 10.44 afirmaba que aún no existe ninguna prueba sencilla).

Editado.

Pregunta 2. En segundo lugar me parece que debería haber alguna afirmación mucho más general que el teorema de De Rham. A saber, supongamos que tenemos un espacio métrico $X$ que sea localmente descomponible como producto isométrico de dos de tal manera que esta descomposición sea "coherente" en un sentido apropiado, es decir, que forme algo así como un presheaf. ¿Cuándo podremos decir que $X=Y\times Z$ ? (Sólo me interesan los casos en los que esto funcionará, no en los que fallará). Como corolario de tal afirmación general uno debería ser capaz de deducir el teorema de de Rham, por ejemplo, para Finsler de un colector poliédrico, ect.

Answer 1

En cuanto a la primera pregunta, puedo citar algunos textos: la demostración original de de Rham, la tesis doctoral de Wu Hongxi sobre el teorema de descomposición de de Rham. No sé qué referencia sería la más temprana. http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/11601

Answer 2

El siguiente teorema está estrechamente relacionado con tu segunda pregunta. Está demostrado en Teorema de descomposición de Rham para espacios métricos por T. Foertsch y A. Lytchak.

Answer 3

Supongo que hay que pedirle al colector riemanniano que sea completo. De lo contrario, $\mathbb R^3 - \lbrace 0 \rbrace$ sería un contraejemplo.

No tengo respuesta a la pregunta 2, pero quizá le interesen las variaciones del Teorema de descomposición de De Rham al ámbito de las variedades complejas compactas. En ese caso, es natural preguntarse, como Beauville hizo si una descomposición holomorfa del haz tangente holomorfo implica que el recubrimiento universal es isomorfo a un producto (sin supuesto métrico).

Sin más suposiciones no hay esperanza ya que las superficies de Hopf proporcionan ejemplos con haz tangente descomponible pero con recubrimiento universal isomorfo a $\mathbb C^2 - \lbrace 0 \rbrace$ .

Si se supone que la variedad es proyectiva o de Kahler, existen algunos resultados positivos, el primero de los cuales se encuentra en el artículo de Beaviulle citado anteriormente. En el caso proyectivo también se puede consultar este , este y este papel. En el caso de Kahler se puede ver ici .

El problema general parece estar muy abierto, en los resultados anteriores cualquiera de los dos supone que uno de los factores es unidimensional o impone condiciones fuertes a la propia variedad ambiente (dimensión $\le 3$ o uniruledness).

Answer 4

Respuesta a la primera pregunta:

Pantilie, Radu , Demostración sencilla del teorema de descomposición de de Rham Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roum., Nouv. Sér. 36, No. 3-4, 341-343 (1992). ZBL0811.53040 .