Explicación intuitiva y/o filosófica de las paradojas de la teoría de conjuntos

Question

Todo estudiante de teoría de conjuntos sabe que la primera axiomatización de la teoría tuvo que enfrentarse a paradojas espectaculares como las de Russel, Burali-Forti, etc. Por eso, el axioma (autocontradictorio) de abstracción ilimitada ( $\lbrace x | \phi(x) \rbrace$ es un conjunto para cualquier fórmula $\phi$ ) fue sustituida por la abstracción limitada limitado ( $\lbrace x \in y | \phi(x) \rbrace$ es un conjunto para cualquier fórmula $\phi$ y cualquier conjunto $y$ ).

Ahora bien, esto siempre me ha parecido una conjetura ("si este sistema de axiomas no funciona, juguemos con él hasta que consigamos algo que parezca coherente"). Además, no es la única forma de contrarrestar las "paradojas de la teoría de conjuntos". clases Neumann-Bernays-Godel.

Así que mi pregunta (ciertamente vaga) es: ¿hay alguna forma de explicar, por ejemplo, la paradoja de Russel que sea mejor que decir "si cambias los axiomas esta paradoja desaparece"? Evidentemente, busco una heurística intuitiva, no una respuesta técnica exacta.

EDITADO 19 de junio : como se ha señalado en varias respuestas, la opinión expresada anteriormente es históricamente falsa e injusta para los primeros axiomatizadores de ZFC. El punto principal es que ZFC puede ser motivada independientemente de las paradojas, y "podría haber sido propuesta incluso si la teoría ingenua de conjuntos hubiera sido consistente" como se explica en la referencia de George Boolos proporcionada en una de las respuestas.

Answer 1

Sigo siendo partidario de mi propia explicación:

www.andrewboucher.com/papers/paradoxes.htm

Answer 2

Un artículo muy interesante de Penelope Maddy titulado Creer en los axiomas tiene una discusión bastante sustancial sobre diversas justificaciones de los axiomas de la teoría de conjuntos. No sólo examina la ZFC, sino también axiomas superiores relativos a cardinales grandes y a la determinación. El artículo no habla realmente de por qué uno querría axiomatizar la teoría de conjuntos, pero sí examina las razones por las que los axiomas que existen actualmente pueden justificarse, y cómo reflejan alguna intuición sobre cómo "debería" ser el universo de la teoría de conjuntos.

Viene en dos partes:

Primera parte: http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/belaxioms1.pdf

Segunda parte: http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/belaxioms2.pdf

Aunque esto no responda realmente a su pregunta, se trata sin duda de una lectura interesante si siente curiosidad por la filosofía de la teoría de conjuntos.

Answer 3

Sea V={x|x es un conjunto y x no es miembro de x}. La paradoja de Russell sólo se plantea si se supone que V es un miembro de sí mismo o de su complemento. La tercera alternativa es que ni ' _ es un miembro de V' ni no-'_ es un miembro de V' puede predicarse de V. No es necesario invocar una jerarquía acumulativa para librarse de la paradoja.