Explicación intuitiva y/o filosófica de las paradojas de la teoría de conjuntos

Question

Todo estudiante de teoría de conjuntos sabe que la primera axiomatización de la teoría tuvo que enfrentarse a paradojas espectaculares como las de Russel, Burali-Forti, etc. Por eso, el axioma (autocontradictorio) de abstracción ilimitada ( $\lbrace x | \phi(x) \rbrace$ es un conjunto para cualquier fórmula $\phi$ ) fue sustituida por la abstracción limitada limitado ( $\lbrace x \in y | \phi(x) \rbrace$ es un conjunto para cualquier fórmula $\phi$ y cualquier conjunto $y$ ).

Ahora bien, esto siempre me ha parecido una conjetura ("si este sistema de axiomas no funciona, juguemos con él hasta que consigamos algo que parezca coherente"). Además, no es la única forma de contrarrestar las "paradojas de la teoría de conjuntos". clases Neumann-Bernays-Godel.

Así que mi pregunta (ciertamente vaga) es: ¿hay alguna forma de explicar, por ejemplo, la paradoja de Russel que sea mejor que decir "si cambias los axiomas esta paradoja desaparece"? Evidentemente, busco una heurística intuitiva, no una respuesta técnica exacta.

EDITADO 19 de junio : como se ha señalado en varias respuestas, la opinión expresada anteriormente es históricamente falsa e injusta para los primeros axiomatizadores de ZFC. El punto principal es que ZFC puede ser motivada independientemente de las paradojas, y "podría haber sido propuesta incluso si la teoría ingenua de conjuntos hubiera sido consistente" como se explica en la referencia de George Boolos proporcionada en una de las respuestas.

Answer 1

Este es el argumento que me dio Lajos Posa cuando estaba en el instituto. La descripción corta de la paradoja de Russell es que dejemos que V sea el conjunto de todos los conjuntos, defina $A=\{x\in V:x\notin x\}$ entonces argumentan que ambos $A\in A$ y $A\notin A$ son imposibles. Es decir, primero suponemos que todos los conjuntos están dados en una forma final, inmutable, en una lista no extensible, después creamos un nuevo conjunto, específicamente de tal manera que debería diferir de todos los conjuntos dados, después nos sorprendemos de que efectivamente difiere de todos los conjuntos. La vía axiomática prohíbe examinar todos los conjuntos dados por una lista completa e inalterable, sólo se nos permite crear conjuntos con una colección limitada de herramientas (los axiomas), y así establecer propiedades generales de los conjuntos.

Answer 2

Hay dos ideas para tratar las paradojas que conducen esencialmente a los mismos conceptos y pueden motivar los mismos axiomas.

Una idea que se remonta a Cantor (que no era tan ingenuo como se cree) es que los conjuntos deben ser colecciones pequeñas y manejables. Esta es la doctrina de limitación de tamaño . Todas las paradojas conocidas de la teoría de conjuntos se derivan de tratar como conjuntos colecciones de conjuntos realmente grandes, como "el conjunto de todos los conjuntos", "el conjunto de todos los ordinales", etc. Los axiomas de sustitución se motivan más fácilmente de esta manera: Si se pueden identificar los elementos de una gran colección de manera unívoca con un conjunto, entonces esa colección es un conjunto real.

El otro enfoque consiste en crear el universo de conjuntos por pasos. Básicamente se empieza con el conjunto vacío y se forman conjuntos a partir de él poniéndolo entre paréntesis "{" como "}", recogiendo todos los subconjuntos en el conjunto de potencias, etc. Finalmente se juntan los conjuntos así obtenidos en un conjunto infinito y continuo con estas operaciones. Presumiblemente, si la existencia de un conjunto es consistente, no hay razón para que al realizar estas operaciones sobre él se obtenga un conjunto paradójico. Todo se construye por etapas. Puesto que el conjunto vacío es ciertamente pequeño y ninguna operación aumenta el tamaño de los conjuntos existentes demasiado rápido para el gusto de un teórico de conjuntos, esto va bien con la doctrina de la limitación del tamaño. Es posible dar una axiomatización explícita de ZFC siguiendo el enfoque de construir conjuntos por etapas a partir de conjuntos que ya existen. Esto se ha hecho en un artículo muy ameno de Dana Scott, "Axiomatizing Set Theory". He aquí un adelanto:

Zermelo respondió a la pregunta dando varios principios de construcción para obtener nuevas a a partir de las antiguas. Fraenkel y Skolem ampliaron el método, y von Neumann, Bernays y Gödel lo modificaron un poco. En realidad, es una historia porque la teoría de conjuntos parece tan artificial y formalista. Los axiomas son contradictorios. Bloqueamos la contradicción y, por tanto, castramos la teoría. Por lo tanto, para llegar a alguna parte, reinstauramos algunos de los principios que eliminamos y esperamos lo mejor. eliminamos y esperamos lo mejor. Ahora bien, sería un error acusar a cualquiera de los de tener una visión tan simplista del proceso axiomático. Sin embargo, Sin embargo, es un punto de vista muy extendido y en el que es fácil caer cuando se consideran los axiomas formales sin su justificación intuitiva. Intentemos ver si hay otro camino hacia la misma teoría más obviamente basado en la intuición subyacente.

Answer 3

George Boolos tiene una serie de ensayos muy amenos (para los no expertos como yo) sobre este tema. Pruebe "The Iterative Conception of Set" en Lógica, lógica y lógica . Trata de encontrar una forma de ver los axiomas de la teoría de conjuntos ZF desde una perspectiva que los haga parecer naturales y no simplemente artificiosos para evitar paradojas. No sé nada sobre cómo ven los puntos de vista de Boolos otros teóricos de conjuntos.

Answer 4

La historia de la teoría axiomática de conjuntos no se desarrolló del modo que usted sugiere aquí. Zermelo, por ejemplo, estaba motivado para formar su sistema axiomático principalmente para dar una prueba cuidadosa de su teorema del buen orden, y no para evitar las antinomias de la teoría de conjuntos. Si tratar de evitar contradicciones fuera nuestro objetivo principal, entonces casi seguro que retrocederíamos mucho y trabajaríamos con sistemas axiomáticos mucho más débiles como los descritos en el libro de Simpson Subsistemas de aritmética de segundo orden que son suficientes para una gran parte de las matemáticas. Así que tu "si este sistema de axiomas no funciona, juguemos con él hasta que consigamos algo que parezca consistente" es un hombre de paja. No conozco a nadie que haya trabajado seriamente en fundamentos que haya adoptado algo remotamente parecido a esa actitud.

Dicho esto, todavía se puede pedir alguna justificación de por qué debemos esperar que, digamos, ZFC sea coherente. Michael Greinecker ha dado una buena respuesta. Me gustaría añadir una palabra clave a su relato que puede resultarte útil si quieres seguir leyendo sobre este tema: impredicatividad . Intuitivamente, todas las paradojas de la teoría de conjuntos surgen debido a la "autorreferencia" en algún sentido. Definimos algo cuantificando sobre un conjunto que contiene la cosa definida. La intuición es que si evitamos tales definiciones "impredicativas", definiendo nuevos conjuntos sólo en términos de conjuntos que ya hemos construido, deberíamos bloquear las paradojas.

Debo señalar, sin embargo, que la ZFC se considera generalmente impredicativa, por lo que esto no responde totalmente a tu pregunta en el caso de la ZFC. No obstante, la coherencia de la ZFC suele justificarse por la descripción de la denominada jerarquía acumulativa de conjuntos que se construye desde la base y, por lo tanto, se basa en la misma intuición de que si se definen las cosas por etapas y cada etapa se basa en la etapa anterior, no deberían poder surgir bucles autorreferenciales.

Answer 5

Volviendo a la pregunta original, culpo al platonismo a medias de las paradojas: Si eres lo suficientemente platonista matemático como para creer que el conjunto universal es una totalidad completada, entonces es hipócrita creer que luego puedes construir nuevos conjuntos mediante un esquema de comprensión. Por supuesto, esto deja abierta la cuestión de qué conjuntos existen aparte del conjunto universal; la mejor respuesta que conozco es la de Alonzo Church "Teoría de conjuntos con un conjunto universal". que tiene un axioma de complementos y una generalización de Cardenales Frege-Russell como conjuntos, y es equiconsistente con ZF.

Descargo de responsabilidad: Church fue cauteloso sobre la motivación filosófica de su teoría; Thomas Forster (en las guías Oxford Logic 20 y 31, también tituladas Teoría de conjuntos con un conjunto universal, ) comparó mi razonamiento con "el chirriante sonido de una virtud hecha de necesidad", aunque se me ocurrió antes de descubrir la teoría de Church, en un ensayo que R.I.G. Hughes dio una D.

El artículo original de Church es pesado y omite la prueba de consistencia. Hay algunos apuntes inéditos de su demostración para el caso m=0, pero son aún más pesados, y el verdadero reto es para m>0. El libro de Forster es probablemente el mejor lugar para empezar con la teoría de Church (y las teorías relacionadas de Emerson Mitchell y mías), aunque la primera edición tiene más detalles que la segunda; véase también http://www.dpmms.cam.ac.uk/~tf/iglesia2001.pdf .