Líneas tangentes a la gráfica de la ecuación

Question

Tengo el siguiente problema y no consigo dar con la respuesta oficial:

Consideremos la curva cuya ecuación es $$(2-x)y^2 = x^3$$ Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la curva en los puntos donde $x=3/2$ .

Mi intento

Mi primer pensamiento es que se puede aislar y en esta ecuación y luego tener $y$ en función de $x$ mediante la función $$f(x) = \sqrt{(x^3/(-x+2)^2)}$$

Pero cuando conviertes la ecuación en una función entonces obviamente no puedes tener una sola $x$ con dos salidas, por lo tanto no puede tener más de una línea tangente a la curva en $x=3/2$ . Esto me parece confuso. Puedes hacer que la ecuación se convierta en una función pero puedes seguir teniendo la ecuación con dos salidas para una x.

Así que decidí utilizar aquí la diferenciación implícita. Entonces el problema se reduce a encontrar $$y - y(3/2) = y'(3/2)(x - 3/2)$$

Así que después de una buena cantidad de trabajo se encuentra $y(3/2)$ y $y'(3/2)$ . Compartiría lo que obtuve pero en realidad me gustaría ver si otras personas obtienen otros resultados.

Respuestas oficiales son $$y = 3\sqrt{3}x - 3\sqrt{3}$$ y $$y = -3\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}$$

Answer 1

Vas por buen camino, considera

\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}[(2-x)y^2] &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}[x^3] \\ (2-x)\frac{{\rm d}y^2}{{\rm d}x} -y^2 &=& 3x^2 \\ 2(2-x)y \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} &=& 3 x^2 \tag{1} \end{eqnarray}

A partir de la ecuación original, evalúa $x=3/2$ que te da

$$ (2 - 3/2)y^2 = (3/2)^2 ~\Rightarrow ~ y^2 = 2 (3/2)^3 = 27/4 $$

Es decir

$$ y_{\pm} = 3\sqrt{3}/2 \tag{2} $$

Es necesario evaluar estos dos valores en la ecuación (1), es decir, evaluar los pares $(x,y) = (3/2, 3\sqrt{3}/2)$ y $(x,y) = (3/2, -3\sqrt{3}/2)$ . ¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

Tenga en cuenta que fo $x\ne 2$

$$(2-x)y^2 = x^3\implies y^2=\frac{x^3}{2-x}\implies 2ydy=-\frac{2(x-3)x^2}{(2-x)^2}dx \implies\frac{dy}{dx}=-\frac{2(x-3)x^2}{2y(2-x)^2}$$

y para $x=\frac32$

$$y^2=\frac{x^3}{2-x}=\frac{\frac{27}{8}}{\frac{1}{2}}=\frac{27}{4}\implies y={\pm} \frac{3\sqrt{3}}2 $$

y obtenemos

• $(x,y)=\left(\frac32,\frac{3\sqrt{3}}2\right)\implies \frac{dy}{dx}=3\sqrt 3$

• $(x,y)=\left(\frac32,-\frac{3\sqrt{3}}2\right)\implies \frac{dy}{dx}=-3\sqrt 3$

y finalmente

• $\left(y-\frac{3\sqrt{3}}2\right)=3\sqrt 3\left(x-\frac{3}2\right)\implies y=3\sqrt 3x-\frac{9\sqrt{3}}2+\frac{3\sqrt{3}}2\implies y=3\sqrt 3x-3\sqrt{3}$

• $\left(y+\frac{3\sqrt{3}}2\right)=-3\sqrt 3\left(x-\frac{3}2\right)\implies y=-3\sqrt 3x+\frac{9\sqrt{3}}2-\frac{3\sqrt{3}}2\implies y=-3\sqrt 3x+3\sqrt{3}$

Answer 3

Si se desplazan todos los términos a un lado de la igualdad, se obtiene una descripción de la curva como curva de nivel de una función $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ . El gradiente de una función es en todas partes normal a sus curvas de nivel, por lo que esto sugiere utilizar la forma punto-normal de la ecuación de la tangente en $(x_0,y_0)$ : $$\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0)=0.$$ Para este problema, tenemos $$f(x,y) = x^3+(x-2)y^2 \\ \nabla f = \left(3x^2+y^2,2(x-2)y\right)$$ y por tanto una ecuación de la tangente en $(x_0,y_0)$ es $$\left(3x_0^2+y_0^2\right)\left( x-x_0\right)+2(x_0-2)y_0(y-y_0) = 0.$$ En $x=\frac32$ , $y=\pm\frac32\sqrt3$ . Introduce estos valores en la ecuación anterior y simplifica, y obtendrás exactamente los dos Respuestas oficiales .