¿Cuál es la forma cerrada de esta función?

Question

Es bien sabido que el coeficiente binomial tiene cierta monotonicidad, y que puede utilizarse para hallar el máximo y el mínimo de los coeficientes binomiales.

Del mismo modo, dejemos que $\left(\delta_{i,j}\right)_{6\times6}$ sea un binario con $\delta_{i,i}=1$ y $\delta_{i,j}=\delta_{j,i}=1$ o $0$ cuando $i\ne j$ y $\delta_{i}=\sum_{j=1}^{6}\delta_{i,j}$ . Definamos $$ f(k):=\min_{\delta_{1}+\delta_{2}+\delta_{3}+\delta_{4}+\delta_{5}+\delta_{6}=2k}\delta_{1}\delta_{2}\delta_{3}\delta_{4}\delta_{5}\delta_{6} $$ para números enteros $k$ , $3\le k\le18$ entonces, ¿cuál es la forma cerrada o expresión combinatoria de $f(k)$ en función de $k$ ?

Gracias.

Answer 1

El mínimo se consigue llenando un bloque cuadrado superior izquierdo lo más grande posible con entradas 1, y llenando parcialmente la siguiente fila por debajo de ese bloque (y, simétricamente, la siguiente columna a la derecha de ese bloque) con el resto de entradas 1 disponibles. El valor de $f(k)$ que se consigue de esta forma es $$ f(k)=c(k)^{c(k)} \cdot [(c(k)+1)/c(k)]^{r(k)} \cdot [r(k)+1] $$ donde el mencionado bloque cuadrado superior izquierdo tiene tamaño $c(k) \times c(k)$ y $2r(k)$ es el número de entradas residuales 1 disponibles para rellenar parcialmente la siguiente fila y columna, tal y como se ha descrito. Queda por dar expresiones explícitas para $c(k)$ y $r(k)$ . Probablemente hay formas más bonitas y sucintas, pero rápidamente uno podría simplemente especificar $$ c(k)=1+\frac{k}{4}+\frac{k}{6}+\frac{k}{9}+\frac{k}{13}-\frac{k}{8}-2\left( \frac{k}{12} \right) -\frac{k}{18} $$ donde división debe interpretarse como división entera, y $$ r(k)=k-3+(1-c(k))c(k)/2 $$ He comprobado que estas expresiones dan los valores mínimos correctos mediante el cálculo explícito de todas las posibilidades.

Una expresión alternativa para $c(k)$ es $$ c(k) = \mbox{int} \left[ \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} + 2k-6} \right] $$