Demostrar la inexistencia de soluciones a $3^n-2^m=t$ sin utilizar congruencias

Question

Hice un comentario de pasada en la bonita respuesta de Max Alekseyev a esta pregunta y Pete Clark me sugirió que lo planteara explícitamente como una cuestión diferente. Sin embargo, no puedo dar ninguna motivación para ello, fue sólo un pensamiento pasajero. Mi única motivación es que parece teoría de números bastante elemental, pero no sé la respuesta.

De acuerdo, uno de los problemas planteados en la pregunta enlazada más arriba era "demostrar que no hay soluciones para ". $3^n-2^m=41$ en enteros no negativos" y la respuesta de Aleksevev fue "ir mod 60". Más tarde se comentó que con modulo 601 o 6553 también valdría. Por ejemplo, modulo 6553 (que es primo), 3 tiene orden 39, 2 tiene orden 117, pero ninguno de los 39 valores de $3^n-41$ modulo 6553 son potencias de 2 modulo 6553.

Mi pregunta (en realidad sólo una observación al pasar) es:

¿Existe un número entero $t$ tal que la ecuación $3^n-2^m=t$ no tiene soluciones en enteros no negativos $m$ , $n$ pero para el que existen soluciones modulo $N$ para todos $N\geq1$ ? (Por supuesto, me refiero a que para cada $N\geq1$ la ecuación se cumple mod $N$ para algunos números enteros $m,n\geq0$ en función de $N$ ; No estoy sugiriendo que $m$ y $n$ se tomará modulo $N$ o son independientes de $N$ ).

En general, comprobar las congruencias no da suficiente información sobre la resolubilidad del polinomio en números enteros, y hay muchos ejemplos de este tipo de fenómenos en matemáticas. Como las ecuaciones diofantinas exponenciales son más difíciles que las normales, yo también esperaría que el principio de Hasse fallara en este caso, pero otros parecen ser más optimistas.

Answer 1

Por si la gente no lo sabe, en el caso del problema exponencial simple $a^{n}=t$ si hay una solución modulo todas las potencias primos, entonces hay una solución entera. [Una buena prueba se da en el libro de Cojocaru y Murty "An introduciton to sieve methods and their applications".

Answer 2

Creo que esto está estrechamente relacionado con la conjetura de Brenner y Foster aquí . Se preguntan si una ecuación exponencial diofantina de la forma $$\sum \epsilon_i p_i^{m_i}=t$$ donde $\epsilon_i=\pm 1$ puede resolverse mediante aritmética modular. No sé si tu caso especial es más fácil, pero quizá sea un buen lugar para empezar a buscar por si hay algo en la literatura.